Критические точки функции. Точки максимума и минимума функции

Критические точки функции. Точки максимума и минимума функции

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Если , то х₀ – критическая точка функции .

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Если точка х₀ является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная , то она равна нулю.

Признак максимума функции. Если функция непрерывна в точке х₀, а на интервале (а; х₀) и на интервале (х₀; b), то точка х₀ является точкой максимумафункции .

Удобно пользоваться упрощённой формулировкой этого признака:

Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума.

Признак минимума функции. Если функция непрерывна в точке х₀, а на интервале (а; х₀) и на интервале (х₀; b), то точка х₀ является точкой минимумафункции .

Удобно пользоваться упрощённой формулировкой этого признака:

Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума.

Все точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции.

Пример1.Найти точки экстремума функции .

Решение.

Находим производную функции .

Находим критические точки функции: ; ;

;

;

; .

Находим знак производной при , и .

;

;

.

, .

Ответ: , .

Домашнее задание.

№ 286. Найдите критические точки функции: а) ; г) .

№ 290. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.

а) ; б) .