краткое повторение алгебры за 8 класс (основные понятия, формулы и определения). Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.

15.05.20

краткое повторение алгебры за 8 класс (основные понятия, формулы и определения). Вся информация, самое главное и всё, что нужно знать вкратце. Цитаты взяты из учебника для общеобразовательных учреждений (авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского) — М.: Просвещение, 2017

Уравнения

■ 13. Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 2 — корень уравнения х³ – х = 4х² – 10, так как верно равенство 2³ – 2 = 4 * 2² – 10.

Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

■14. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными. Если и левая и правая части рационального уравнения являются целыми выражениями, то уравнение называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

■15. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Например, уравнения х² = 36 и (x – 6)(x + 6) = 0 равносильные. Каждое из них имеет два корня: –6 и 6. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Уравнения обладают следующими свойствами:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

■ 16. Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа. Число а называется коэффициентом при переменной, число b — свободным членом.

Если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень — b/a. Например, уравнение 5х = 3 имеет корень 0,6.

Если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 9 не имеет корней.

Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.

■ 17. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причём а ≠ 0. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом и с — свободным членом.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

■18. Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение вида ах² + bх = 0 имеет два корня: 0 и –b/a. Такие уравнения обычно решают разложением их левой части на множители. Например, 3х² – 15х = 0, 3х(х – 5) = 0, х₁ = 0 и х₂ = 5.

Неполное квадратное уравнение вида ах² + с = 0 имеет два корня:

если –c/a > 0, и не имеет корней, если –c/a < 0.

Решают такие уравнения, сводя их к уравнениям вида х² = m. Например, 0,5х² – 18 = 0, 0,5x² = 18, х² = 36, х₁ = –6, х₂ = 6.

■19. Дискриминантом квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 называют выражение D = b² – 4ас.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня; если D = 0, то один корень; если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.

Корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 при D ≥ 0 находят по формуле

Для квадратного уравнения вида ах² + kх + с = 0 формулу корней можно записать так:

■20. Теорема Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если х₁ и х₂ — корни уравнения х²+ рх + q = 0, то х₁ + х₂ = –р и х₁х₂ = q.

Из теоремы Виета следует, что если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, то х₁ + х₂ = –b/a, х₁х₂ = c/a.

Теорема, обратная теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + рх + q = 0.

■21. При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решим, например, уравнение

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на х(х – 2), получим 2х² = 2 + х(х + 1). Это уравнение приводится к квадратному уравнению х²– х – 2 = 0, имеющему корни 2 и –1.

При х = 2 общий знаменатель дробей исходного уравнения обращается в нуль, этот корень нужно исключить. При х = —1 общий знаменатель х(х – 2) в нуль не обращается, следовательно, число –1 является корнем исходного уравнения.

■22. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Например, пара чисел х = –5, у = 3 является решением уравнения х² – 4у = 13. Это решение можно записать так: (–5; 3).

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах + by = с, где х и у — переменные, а, b и с — числа.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными.

■23. Каждое решение (х; у) уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

■ 24. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 3, у = 8 — решение системы

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы уравнений, не имеющие решений, также считают равносильными.

Для решения систем уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения.

При графическом способе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:

если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы;
если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом:

выражают из какого–либо уравнения системы одну переменную через другую;
подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом:

умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами;
складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.