I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение вида

, (1)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную.

Частным решением такого уравнения является дифференцируемая функция y = f (x), при подстановке в уравнение (1) обращающая его в тождество.

Множество всех решений уравнения (1) называется его общим решением, или общим интегралом и имеет вид

y = f (x, С), или F(x,y,C)=0 (2)

Любое частное решение получается из формулы (2) при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает решение уравнения (1).

Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию y₀ = f (x₀), называется задачей Коши для уравнения первого порядка.

Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка, для которых можно найти аналитическое решение.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(3)

называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к равенству , откуда . Если существуют первообразные и функций f (x) и ,то общее решение урав-нения (3) имеет вид:

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Разделим переменные:

Обратите внимание на форму записи произвольной постоянной: если вид общего интеграла можно упростить потенцированием, удобно представить произвольную постоянную как логарифм другой произвольной постоянной. Тогда общий интеграл можно записать так:

К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида , (4)

где a, b, c – постоянные. Для этого вводится новая функция z = ax + by + c. Поскольку и для z получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Пример 2.Найти частное решение уравнения , удовлетворяю-щее условию у(4) = 1.

Решение. Пусть Решим уравнение для z:

При х = 4, у = 1 получаем: 6 – 4 ln 5 = 4 + C, откуда С = 2 – 4 ln 5. Следовательно, частное решение имеет вид:

2. Линейные уравнения первого порядка

Уравнение вида (5)

называется линейным неоднородным уравнением первого порядка, поскольку искомая функция и её производная в первой степени. Если b(x) ≡ 0, уравнение является однородным, причем это уравнение с разделяющимися переменными. На этом основан метод Лагранжа – метод вариации постоянной. Получив решение однородного уравнения в виде y = f (x, C), считают, что решение уравнения (8) имеет такой же вид, но С = С (х) – не постоянная, а функция от х, вид которой можно определить, подставив y = f (x, C (х)) в уравнение (5).

Пример 3.Найти общее решение уравнения

Решение.Сначала однородное уравнение: . Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде: у = С (х)∙е^-2х.

. Подставим y и y’ в исходное уравнение: , где - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

К линейному можно привести и уравнение вида

(6)

называемое уравнением Бернулли. Для этого вводится новая функция , для которой . Разделим обе части уравнения (6) на у ^п: или линейное уравнение для z.

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения .Решение. Разделим обе части равенства на у²: и сделаем замену: . Решим уравнение для z: . Однородное уравнение:

. Подставим полученные выра-жения в неоднородное уравнение: