Тестирование №2-2020 по алгебре.

Тестирование №2-2020 по алгебре.

Вариант 1.

Задача 1. Матрица линейного оператора в базисе имеет вид

Найти матрицу этого линейного оператора в базисе

Задача 2.В линейном пространстве в некотором базисе даны векторы

Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача 3. Как определяется произведение двух линейных операторов?

Используя определение матрицы оператора в данном базисе, доказать, что матрица произведения двух линейных операторов равна произведению матриц этих операторов в этом базисе.

Вариант 2.

Задача 1. Найдите матрицу оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени,не превосходящей 2,в базисе

Задача 2. В линейном пространстве в некотором базисе даны векторы

Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача3.Найдите матрицу перехода от ортонормированного базиса в пространстве геометрических векторов к базису где получаются соответственно из векторов

поворотом их на угол в плоскости этих векторов. Найдите также обратную матрицу.

Вариант 3.

Задача 1.Элементы и линейного пространства имеют в базисе и координаты 0,1и1,0. Найти матрицы оператора в базисах и если элементы и имеют в базисе координаты 2,3 и 4,5.

Задача 2. В линейном пространстве в некотором базисе даны векторы

Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача 3.В базисе линейного пространства произвольные элементы и имеют разложения

Можно ли в этом пространстве ввести скалярное произведение элементов по формуле

Ответ обосновать.

Вариант 4.

Задача 1. Пусть линейная оболочка функций и Найдите матрицу обратную к матрице оператора дифференцирования действующего в в базисе

Задача 2. В линейном пространстве в некотором базисе даны векторы

Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача3. Найдите матрицу перехода от ортонормированного базиса в пространстве геометрических векторов к базису где и получаются соответственно из векторов

поворотом их на угол в плоскости этих векторов. Найдите также обратную матрицу.

Вариант 5.

Задача 1.Произвольный элемент линейного пространства имеющий в базисе координаты при действии линейного оператора переходит в элемент, имеющий координаты Найдите матрицу оператора в базисе

Задача 2. В линейном пространстве в некотором базисе даны векторы

Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача 3.Найдите матрицу перехода от ортонормированного базиса в пространстве геометрических векторов к базису где получаются соответственно из векторов

поворотом их на угол в плоскости этих векторов. Найдите также обратную матрицу.

Вариант 6.

Задача 1.Матрица линейного оператора в базисе имеет вид

Найти матрицу этого линейного оператора в базисе

Задача 2. В линейном пространстве в некотором базисе даны векторы

Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Задача 3. В базисе линейного пространства произвольные элементы и имеют разложения

Можно ли в этом пространстве ввести скалярное произведение элементов по формуле

Ответ обосновать.

Вариант 7.

Задача1.Произвольный элемент линейного пространства имеющий в базисе координаты при действии линейного оператора переходит в элемент, имеющий координаты Найдите матрицу оператора в базисе