Уравнение плоскости

Уравнение плоскости

План

1. Уравнение плоскости

2. Расстояние от точки до плоскости

3. Примеры

Вопрос 1. Уравнение плоскости

Уравнение с тремя переменными x, у, z называетсяуравнением данной поверхности P в системе координат Охуz, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности Р и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Пусть дана некоторая точка M₀(x₀;y₀;z₀) и ненулевой вектор . Через точку M₀ можно провести только одну плоскость α перпендикулярную вектору .

Выведем уравнение плоскости α. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости α только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору . Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору , можно записать в виде: . Вектор в уравнении называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть координаты вектора равны . И обозначим координаты произвольной точки М через x, y и z. Тогда вектор имеет координаты .

Теперь можно записать уравнение плоскости через координаты вектора и вектора :

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С). Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, обозначив слагаемые, не содержащие переменные за D:

;

Вопрос 2. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости. Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначают ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости. Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Расстояние между параллельными плоскостями

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А.

Из точки А опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α. Перпендикуляр АА₀ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВ₀. Прямые АА₀ и ВВ₀ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые АА₀ и ВВ₀ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки АА₀ и ВВ₀равны.

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α.

Длина перпендикуляра АА₀ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α. Обозначение: АА₀ = р(а; α).

Вопрос 3.Примеры

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу : =0.

В этой формуле числа A, B и C координаты вектора , а числа x0, y0 и z0 - координаты точки .

Подставляем эти числа в формулу и получаем

Раскроем скобки, преобразуем и получим:

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости.

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,3), перпендикулярной к прямой АВ, если В(2,-1,3).

Решение. Найдём нормальный вектор. В данном случае Составим уравнение плоскости

Пример 3. Найдите расстояние от точки С(7,-8,9) до плоскости из предыдущей задачи.

Решение. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из неё на заданную плоскость и вычисляется по формуле:

Подставим координаты точки и вектора :