Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Тема 3. Обратные тригонометрические функции



Тема 3. Обратные тригонометрические функции

Определения , , ,

1. , если , Арксинусом числа a называется такое число из отрезка , синус которого равен a.
2. , если , Арккосинусом числа a называется такое число из отрезка , косинус которого равен a.
3. , если , Арктангенсом числа a называется такое число из интервала , тангенс которого равен a.
4. , если , Арккотангенсом числа a называется такое число из интервала , котангенс которого равен a.

 

Основные тождества:

1. , 2. , 3. ,   4. , 5. , 6. ,

 

Пример 1.Вычислите в градусах значение выражения .

Решение. Находим значения обратных тригонометрических функций, используя их определения: , так как  и ; , так как  и . Тогда .

Ответ: 120.

Пример 2. Укажите в градусах значение угла .

Решение. Вычисляем, используя периодичность функции , значение . Тогда, применяя основное тождество 4, получаем: .

Ответ: 135.

Из определений значений обратных тригонометрических функций вытекают следующие соотношения:

1. , если 2. , если 3. , если 4. , если

Пример 3. Укажите в градусах значение угла .

Решение. Применяем формулу приведения и соотношение 3:

.

Ответ: 45.

Рассмотрим свойства и графики обратных тригонометрических функций , , , .

Свойства функции :

1. .

2. .

3. Функция возрастает на промежутке .

 Свойства функции : 1. . 2. . 3. Функция убывает на промежутке .  
Свойства функции : 1. . 2. . 3. Функция возрастает на R.

Свойства функции :

1. .

2. .

3. Функция убывает на R.

 
       

 

 

 

Из определений обратных тригонометрических функций и соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента вытекают следующие тождества, справедливые в области определения соответствующих функций:


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


 

Пример 4. Вычислите .


1)

2)

3)

4)


Решение. По формуле приведения и тождеству 5 получаем:

.

Ответ: 3).

Пример 5. Результат вычисления выражения  равен

1)                                      2) 3                              3) -3                            4)

Решение. Так как , применяем формулу приведения и тождество 10:

.

Ответ: 4).

Пример 6. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


Решение. Используем формулу для синуса двойного угла и тождества 11, 12:

.

Ответ: 4).

Задачи.

1. Вычислите в градусах значения следующих выражений:


1)

2)

3)

4)


2. Укажите в градусах значения углов:


1)

2)

3)

4)


3. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


4. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


5. Результат вычисления выражения  равен


1) 3

2)

3)

4)


6. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


7. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


8. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


9. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


10. Результат вычисления выражения  равен


1)

2)

3)

4)


 
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.