Контакты

Случайная статья

Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями. Замечательные пределы

Предел функции

Определение 1.Число A называется пределом функции при стремлении x к a (или в точке a), если для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Определение 2. Функция является бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при или при , если или .

Определение 3. Если , где , бесконечно малые при , то и называются эквивалентными бесконечно малыми при ( ~ ).

Теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют: .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Теорема 3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют, и предел знаменателя отличен от нуля: .

Пример 1. Найдите следующие пределы:

1)

2)

Замечательные пределы

Первый замечательный предел. ~ при .

Следствия:

1) ~ при 2) ~ при

3) ~ при 4) ~ при

Второй замечательный предел. или .

Следствия:

1) ~ при . 2) ~ при .

Пример 2. Найдите следующие пределы:

1) ~ при , ~ при .

2)

3) ~ при , ~ при .

Задачи.

Найдите пределы:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.