Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Нестандартные задания по теме «Функции помогают уравнениям»



Нестандартные задания по теме «Функции помогают уравнениям»

 

Пример 1.

Решите уравнение

Р е ш е н и е:

   

9х = Z.

,

–4,5 ,

.

Получили 3 целых значения n:

n = –1, n = 0, n = 1.

Корни уравнения:

n = 0, x = 0;

n = 1, x = ;

n = –1, x = – .

О т в е т: .

 

Пример 2.

Решите уравнение

Р е ш е н и е:

     

–4 ≤ –π + 4πn ≤ 4,

π – 4 + ≤ 4πn ≤ 4 + π,

.

Единственное целое значение и будет n = 0. При этом х = –π.

О т в е т: –π.

Пример 3.

Решите уравнение

  

  

 

Отрезку принадлежит только точка х =

О т в е т:

Пример 4.

При каком значении параметра с функция

 имеет минимум в точке ?

Р е ш е н и е:

Рассмотрим подкоренное выражение.

Так как функция  монотонно возрастающая, то достаточно исследовать подкоренное выражение.

.

Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, значит, в вершине будет точка минимума.

О т в е т: c = 4.

Пример 5.

Решите уравнение

Р е ш е н и е:

   

Получили: х =

О т в е т: х =

 

Пример 6.

Решите уравнение .

Р е ш е н и е:

Решим уравнение cos 3x = .

3х =  + 2pn,

х =

Решим неравенство 0,25 – х2 ³ 0.

х2 £ 0,25,

|х| £ 0,5,

–0,5 £ х £ 0,5.

Последнему двойному неравенству удовлетворяют два корня:

 и .

О т в е т:

Пример 7.

Четная функция f определена на всей числовой прямой.

Для функции g(x) = x + (x – 5)· f(x – 5) + 5 вычислите сумму

g(4) + g(5) + g(6).

Р е ш е н и е:

g(4) = 4 + (–1) · f(–1) + 5,

g(4) = 9 – f(1),

g(5) = 5 + 5,

g(5) = 10,

g(6) = 6 + 1 · f(1) + 5.

g(6) = 11 + f(1).

g(4) + g(5) + g(6) = 30.

О т в е т: 30.

 

Пример 8.

Четная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого положительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции

у = (2х – 1)(5х – 2)(х – 3)(х + 5).

Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0?

Р е ш е н и е:

Имеем 3 положительных корня х1 = 0,5, х2 = 0,4, х3 = 3.

Так как f – четная,

то есть еще 3 корня х4 = –0,5, х5 = –0,4, х6 = –3.

Всего 6 корней.

О т в е т: 6.

 

Пример 9.

Найдите значение функции y = 2 · f(x) · f(–x) – g(–x) в точке x0, если известно, что y = f(x) – четная функция, y = g(x) – нечетная функция, f (x0) = 1, g(x0) = 2.

Р е ш е н и е:

у = 2 · f(x0) · f(–x0) + g(x0) = 2 · 1 · 1 + 2 = 4.

О т в е т: 4.
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.