Расчетно-графическая работа № 1

Расчетно-графическая работа № 1

ВАРИАНТ 1

1. Доказать, что

а) А Ì В < = > A È B = В

б) А \ (В \ С) = (А \ В) È (А Ç С)

2. А = {1, 2, 3, 4, 5}. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, транзитивным или антисимметричным, если Р = { (a,b) êa, b ÎA, a – b – четное}/

3. f: A -> B и g: B -> C – отношения. Что является областью определения f • g, когда:

а) f и g – функции

б) f – функция, g – отображение.

4. Понятие функции и отображения. Виды функций.

ВАРИАНТ 2

1. Доказать, что

а) А Ì В < = > A Ç B = А

б) (А \ В) \ С = (А \ С) \ (В \ С)

2. f: A -> B и g: B -> C – отношения. Что является областью определения f • g, когда:

а) f – отображение, g – функция

б) f и g – отображения

3. А = {1, 2, 3, 4, 5}. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, транзитивным или антисимметричным, если Р = { (a,b) êa,b ÎA, a + b – четное}.

4. Отношения. Основные понятия: n-местный предикат, бинарное отношение, обратное отношение, области определения и изменения отношения, образ и прообраз множества Х относительно отношения Р, графическое представление отношений.

ВАРИАНТ 3

1. Доказать, что

а) А Ì В < = > A \ B = Æ

б) (А \ В) Ç С = (А Ç С) \ В

2. Отношение на Р (множестве всех людей) определяется как Р = { (a,b) êa и b имеют общего предка}.

Какими свойствами обладает это отношение?

3. Доказать, что если функция f инъективна, то существует f ^-1.

4. Обратные функции и отображения.

ВАРИАНТ 4

1. Доказать, что

а) А Ì В < = > `A È B = U

б) (А È В) \ С = (А \ С) È (В \ С)

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение R²?

3. Если функция f сюръективна, следует ли отсюда, что f ^-1отображение?

4. Отношения, свойства отношений.

ВАРИАНТ 5

1. Доказать, что

а) А È В = В < = > A Ç B = А

б) (А Ç В) \ С = (А \ С) Ç (В \ С)

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение S²?

3. А = {-10, -9, ..., 0, 1, ...,9, 10}. Какие из указанных отношений на множестве А являются функциями? Дать противоречащие примеры в случаях, когда отношение не является функцией.

Если отношение является функцией, то дать характеристику этой функции.

а) Р₁ = { (x,y) êx,y ÎA, x = y²}

б) Р₂ = { (x,y) êx,y ÎA, x² = y}

4. Операции над множествами.

ВАРИАНТ 6

1. Доказать, что

а) А È В = В < = > A \ B = Æ

б) Вытекает ли из А \ В = С, что А = В È С?

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение S·R?

Если отношение является функцией, то дать характеристику этой функции.

а) Р₁ = { (x,y) êx,y ÎA, x = -y}

б) Р₂ = { (x,y) êx,y ÎA, x = 6}

4. Составные отношения.

ВАРИАНТ 7

1. Доказать, что

а) А È В = В < = > `A È B = U

б) Вытекает ли из А = В È С, что А \ В = С?

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение S·R^-1?

Если отношение является функцией, то дать характеристику этой функции.

а) Р₁ = { (x,y) êx,y ÎA, x³ = y}

б) Р₂ = { (x,y) êx,y ÎA, x = y³}

4. Понятия функции и отображения. Виды функций.

ВАРИАНТ 8

1. Доказать, что

а) А Ç В = В < = > В \ А = Æ

б) Верно ли указанное равенство:

А È (В \ С) = (А È В ) \ С?

Если нет, то в какую сторону имеет место включение?

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является матерью y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение R^-1 ·S?

Если отношение является функцией, то дать характеристику этой функции.

а) Р₁ = { (x,y) êx,y ÎA, x = êy ê}

б) Р₂ = { (x,y) êx,y ÎA, x² = y}

4. Принцип математической индукции.

ВАРИАНТ 9

1. Доказать, что

а) А \ В = Æ < = > `A È B = U

б) (А Ç В) \ С = (А \ С) Ç (В \ С)

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение R^-1 · S^-1?

3. f : A -> B и g : B -> C – функции. Доказать, что если f и g инъективны, то f • g инъективна.

4. Матрица бинарного отношения. Ее свойства.

ВАРИАНТ 10

1. Доказать, что

а) А Ç (В \ А) = Æ

б) (А È В) \ С = (А \ С) È (В \ С)

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение R · S^-1?

3. f : A -> B и g: B -> C – функции. Доказать, что если f и g сюръективны, то f • g сюръективна.

4. Отношения. Свойства отношений.

ВАРИАНТ 11

1. Доказать, что

а) А \ (В È С) = (А \ В) \ С

б) (А Ç С) \ (В Ç С) = (А Ç С) \ В

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение S^-1· S^-1?

3. f: A -> B и g: B -> C – функции и g сюръективна. Достаточно ли этого, чтобы обеспечить сюръективность f • g?

4. Отношение эквивалентности и разбиения. Фактор-множества.

ВАРИАНТ 12

1. Доказать, что

а) А = В < == > (А \ В) È (В \ А) = Æ

б) (А È В) Å С Í (А Å С) È (В Å С)

2. Р – множество всех людей.

R = { (x,y) êx,y Î P и x является отцом y}.

S = { (x,y) êx,y Î P и x – дочь y}.

Описать явно отношение S^-1· R^-1?

3. f: A -> B и g: C -> B . Причем, f – сюръекция, а g – отображение. Показать, что область значения функции f • g^-1совпадает со множеством С, т.е. R (f • g^-1) = C.

4. Отношение порядка.

ВАРИАНТ 13

1. Доказать, что

а) (А Ç С) È (В Ç D ) Ì (А È С) Ç (В È D )

б) (x \ y) Ç z = (x Ç z) \ (y Ç z )

2. Найти произведение отношений R· R^-1для отношения

R = { (x,y) êx,y Î N и x делит y}.

N = {1,2, ...}

Записать это отношение явно.

3. f: A -> B и g: С -> В, где f и g – биекции. Показать, что (f • g^-1)^-1= g • f^-1

4. Фундаментальные алгебры: полугруппа, моноид, группа.

ВАРИАНТ 14

1. Доказать, что

а) (В \ С) \ (В \ А ) Ì А \ С

б) (А \ В) Ç С = (А Ç С) \ (В Ç С )

2. Найти область определения и область значения отношений

Р = { (x,y) êx,y Î R, 2x ³ 3y}.

R – множество вещественных чисел

3. Какие из следующих функций являются отображениями? Дать пояснения по каждому пункту:

а) f : Q -> Q, где и f : x ® arcsin x,

б) f : R -> R, где f : x ® 1 \ x

в) f на R определяется таким образом: {(x³,x) ê x Î R}

4. Кольца и поля.

ВАРИАНТ 15

1. Доказать, что

а) А \ С Ì (А \ В) È (В \ С)

б) Верно ли равенство

А \ (В È С) = (А \ В) \ С

Если нет, то в какую сторону имеет место включение?

2. Построить бинарное отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и не транзитивным.

3. Найти взаимно однозначное отображение интервала (0,1) на всю числовую прямую.

4. Морфизмы.

ВАРИАНТ 16

1. а) Доказать тождество .

б) Доказать, что .

2. Найти область определения, область значений и для отношения

3. Пусть взаимно однозначное соответствие. Доказать, что .

ВАРИАНТ 17

1. а) Доказать, что .

б) Доказать тождество .

2. Найти область определения, область значений и для отношения .

3. Пусть взаимно однозначное соответствие. Доказать, что взаимно однозначное соответствие между и .

ВАРИАНТ 18

1. а) Доказать, что и .

б) Доказать тождество .

2. Найти область определения, область значений и для отношения .

3. Пусть , , , – такие множества, что находится во взаимно однозначном соответствии с , а с . Показать, что можно установить взаимно однозначное соответствие между и .