Подготовка к итоговой контрольной работе в группе № 17 (разбор заданий, подобных предложенным в итоговой контрольной работе))

1. Вычислить:

Решение. = - ∙3 + 5= -1+5=4. Ответ : 4

2. Вычислить: 25^-2∙ 5¹⁰ : 125²

Решение. 25^-2∙ 5¹⁰ : 125²=(5²)^-2∙ 5¹⁰ :(5³)²= 5^-4∙ 5¹⁰ : 5⁶ = 5^{-4 +10 – 6} =

= 5⁰ = 1 Ответ : 1

(Используем свойства степеней: (a^m)ⁿ= a^mⁿ ; a^m ∙ aⁿ = a^m⁺ⁿ ; a^m : aⁿ =a^m^-ⁿ)

3. Вычислить: log₄ 64

(Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b; log _a b = c, a^c = b)

Решение. log₄ 64 = 3, так как 4³ = 64.

Ответ: 3

4. Вычислить: а) 2sin 22^o30^' cos22^o30^' = sin 45⁰=√2/2 (Использовалась формула синуса двойного угла:

2sinα ∙ cosα = sin2α)

5. . Решить иррациональное уравнение: = 6

Решение. = 6, возведём обе части уравнения в квадрат (чтобы «избавиться» от квадратного корня);

² = 6²;

x – 2 = 36;

x = 36 +2;

x = 38.

Проверка при x = 38. = 6

= 6 (верно).

Ответ: 38.

6. Решить показательное уравнение: 3^{2х + 1} = 27.

Решение. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3;

3^{2х + 1} = 3³; если равны степени и равны их основания, то равны и показатели этих степеней. Значит,

2x + 1 = 3;

2x = 3 – 1;

2x = 2;

x = 1.

Ответ: 1.

7).Решить логарифмическое уравнение log ₃( 2x – 3) = 2

По определению логарифма 2x – 3= 3²

2x – 3= 9

2x = 9 + 3

2x = 12

х = 12:2

х = 6.

Ответ: 6

8).Решить тригонометрическое уравнение 2sin x =

sin x =

х = (-1)ⁿ arcsin + π n, n

х = (-1)ⁿ + π n, n

Ответ: (-1)ⁿ + π n, n .

9.Задача. Основанием пирамиды РABC является правильный треугольник ABC со стороной м. Высота пирамиды РО равна м. Найти объем пирамиды.

V = S _оснh (формула для вычисления объёма пирамиды)

S _осн = S( ABC) = a² (формула для вычисления площади правильного треугольника).

Значит, V = S _осн h = a² h (*)

По условию задачи a = , высота h = РО = . Подставим в формулу(*)

V= ( ² = 6 = = 1,5 (м³).

Ответ: 1,5 м³.

10).Задача. Найти площадь поверхности шара, если его диаметр равен 4 дм.

Решение:

площадь поверхности шара (сферы) находим по формуле S = 4 π R². Радиус шара равен половине диаметра, значит, R = 4 : 2 = 2 (дм).

S = 4 π R² = 4 π ∙ 2² = 4∙π∙4 = 16 π (дм²).

Ответ: 16 π дм².