Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Поверхности второго порядка



Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению

Коэффициенты  могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой.  Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию  называют собственным вектором матрицы А,  - собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

 

Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

3x2 +5y2 +3z2 – 2xy + 2xz – 2yz -12x – 10 = 0.

Решение.

Составим матрицу А:

.

Найдем собственные векторы:

Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.

Раскрывая определитель, получим:

.

Отсюда находим: .

При  получим систему уравнений:

Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный вектор  собственного вектора   будет: .

При  получим

При  получим .

Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:

Отсюда получим формулы преобразования координат:

 

Подставим значения ,  и  в уравнение поверхности:

или

Перепишем уравнение в виде:    

Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим

Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.

Классификация поверхностей второго порядка.

Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:

.

В зависимости от величины и знаков коэффициентов , , , , ,  и  могут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.

Таблица 1.

1. Эллипсоиды:  

трехосный эллипсоид,

 мнимый эллипсоид

 точка

2. Гиперболоиды:

1) однополостные гиперболоиды

2) двуполостные гиперболоиды

 

3. Конусы:

                                                                                   

4. Параболоиды:

1)  эллиптические параболоиды

2)  гиперболические параболоиды

5. Цилиндры

1)  эллиптические цилиндры

 

2)  гиперболические цилиндры

3)  - параболические цилиндры

 

 6. Пары плоскостей:

1) - пары пересекающихся плоскостей 

2)   - пары параллельных плоскостей 

3) - пары совпадающих плоскостей    

 
  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.