Точки на поверхностях тел вращения

Вопрос 37

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная в процессе вращения некоторой линии вокруг неподвижной оси. Линия, которая вращается, называется образующейповерхности. Образующая линия может быть прямой, плоской или пространственной кривой. Каждая точка образующей линии поверхности (например, точка В) при своём вращении будет описывать окружность с центром на оси i, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис.10.1). Такие окружности называютсяпараллелями. Наибольшая параллель называется экватором, наименьшая – горлом.

Рис.10.1

Линия поверхности вращения, лежащая в плоскости, проходящей через ось вращения, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения равны между собой. Меридиан, лежащий в плоскости уровня, называется главным. Множество всех параллелей или меридианов представляет собой каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан.

При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обычно поверхность располагают так, чтобы её ось i была бы проецирующей прямой. На рис.10.1(а) приведена поверхность вращения, образованная при вращении кривой l. В качестве оси вращения используется горизонтально проецирующая прямая i. Комплексный чертеж поверхности приведён на рис.10.1(б). Экватор поверхности вращения описывает точка А образующей, а горло – точка В. Меридиан m лежит в плоскости Δ, а главный меридиан – в плоскости Σ. В данном случае очерком поверхности вращения на горизонтальной плоскости проекций П₁ является проекция экватора, а на фронтальной плоскости П₂ – проекция главного меридиана.

Геометрическая часть определителя поверхности вращения Φ состоит из образующей линии и оси вращения: Φ(l,i), где l – образующая линия поверхности, i – ось вращения. Алгоритмическая часть определителя поверхности вращения состоит из операции вращения образующей вокруг оси и построения каркаса параллелей необходимой плотности.

Для построения точки, лежащей на поверхности вращения, необходимо провести вспомогательную линию на поверхности (обычно параллель или меридиан), и расположить проекции точки на одноименных проекциях вспомогательной линии.

Поверхности вращения получили самое широкое применение в деталях различных механизмов и машин. Основными причинами этого является, с одной стороны, распространённость вращательного движения, а с другой стороны – простота обработки поверхностей вращения.

2. Поверхности вращения, образованные прямой линией

Вращением прямой линии можно получить следующие виды поверхностей вращения:

цилиндр вращения, если образующая параллельна оси вращения (рис.10.2);
конус вращения, если образующая пересекается с осью вращения (рис.10.3);
однополостный гиперболоид вращения, если образующая скрещивается с осью вращения (рис.10.4).

Рис.10.2

Рис.10.3

Рис.10.4

Поверхность имеет две образующие линии l(ВС) и l'(В'С'), наклоненные в разные стороны. Эти образующие пересекаются между собой. Точка их пересечения лежит на наименьшей параллели (в данном случае в точке А). Отрезок ОАявляется кратчайшим расстоянием между образующей и осью. Таким образом, на поверхности однополостного гиперболоида располагаются два семейства прямолинейных образующих. Все образующие одного семейства - скрещивающиеся прямые. Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие другого. Через каждую точку поверхности проходят две образующие разных семейств. Меридианом поверхности является гипербола.

Рассмотренные поверхности вращения можно отнести и к классу линейчатых поверхностей, так как они образованы в процессе движения прямой линии. Кроме того, поверхности являются поверхностями второго порядка: максимальное число точек пересечения каждой из этих поверхностей с прямой общего положения равно двум.

Построение точки на таких поверхностях можно выполнить при помощи параллели или при помощи прямолинейной образующей.

3. Поверхности вращения, образованные окружностью

Вращением окружности можно получить следующие виды поверхностей вращения:

сферу, если окружность вращается вокруг её диаметра (рис.10.5);

Рис.10.5

тор, если окружность вращается вокруг оси, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через её центр. При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. В первых двух случаях торназывается закрытым(рис.10.6), в последнем - открытымиликольцом (рис.10.7).

Рис.10.6 Рис.10.7

На рис.10.8 приведён комплексный чертёж открытого тора, заданного образующей окружностью m и осью вращения i. Очерком поверхности на плоскости П₁ является проекции экватора и горла, а на плоскости П₂ – проекция главного меридиана (две образующие окружности.

Тор является поверхностью четвертого порядка, поэтому пересекается произвольной прямой в четырех точках.

Рис.10.8

4. Поверхности вращения, образованные кривыми

второго порядка

Вращением кривых второго порядка вокруг их осей можно получить:

эллипсоид вращения – при вращении эллипса вокруг большой или малой оси;
параболоид вращения - при вращении параболы;
однополостный гиперболоид вращения - при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта же поверхность образуется также вращением прямой);
двуполостный гиперболоид вращения - при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.

Вопрос 38

Точки на поверхностях тел вращения

^ Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо кривой или прямой, называемой образующей, при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Поверхности вращения получили очень широкое распространение на практике. Например, это детали, обрабатываемые на токарных станках.

Определим недостающие проекции точек на поверхностях вращения. Образующей цилиндра является прямая, параллельная оси вращения.

Образующей конуса является прямая, пересекающая ось вращения.

Образующей сферы является окружность, центр которой лежит на оси вращения.

Образующей кольца (тора) является окружность, центр которой не лежит на оси вращения.

12 Следующая ⇒