Поверхности второго порядка. Определение

Поверхности второго порядка

ОпределениеУравнением данной поверхности (в выбранной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Определение

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

где – вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

ОпределениеВ декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр O(a,b,c) и радиус R, определяется уравнением . Сфера, имеющая центр O(0,0,0) и радиус R, определяется уравнением .
Определение Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где a, b, c – положительные числа.

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии – центром эллипсоида. Числа , называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями z=h, h<c, будут окружностями.

ОпределениеОднополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где a, b, c – положительные числа.
Определение.Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид где a, b, c – положительные числа.
Определение.Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где a, b, c – положительные числа.
Определение.Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где a, b – положительные числа.
Определение.Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид где a, b – положительные числа.

Определение.Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые – образующими.

Определение Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением называется эллиптическим цилиндром.
Определение.Поверхность, которая задается уравнением называется гиперболическим цилиндром.
Определение.Поверхность, которая задается уравнением называется параболическим цилиндром.