Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctg=a.

Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctg=a.

Цели урока:

Образовательная: Повторить учебный материал, необходимый для успешного решения тригонометрических уравнений, рассмотреть методы решения простейших тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctg=a.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его

простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos ² x + sin x · cos x – sin ² x – cos ² x = 0 ,

sin x · cos x – sin ² x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ²x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x ,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,

tan ² x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y ² + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y₁ = -1, y₂ = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.