Реферат. Раціональні рівняння. Задача 1. Розв’язати рівняння

Міністерство освіти і науки України

Коледж інформаційних технологій та землевпорядкування

Національного авіаційного університету

Реферат

на тему:«Раціональні рівняння»

Виконав:

Студент І курсу

Групи ЗВ-14

Пилипенко Євгеній

Перевірив:

Безкрила Світлана Іванівна

Київ-2012

Раціональні рівняння

Основними раціональними рівняннями з однією змінною являються лінійні і квадратні рівняння.

Всі інші раціональні рівняння проводяться за допомогою різних перетворень до цих основних рівнянь, тобто до лінійних і квадратних.

Ці перетворення є слідуючими:

1) Якщо рівняння дробове, то спочатку перетворюють його до цілого виду, помноживши обидві частини рівняння на спільний знаменник всіх дробів.

При цьому потрібно пам’ятати, що згідно правила ми отримаємо лиш наслідок вихідного рівняння.

2) Якщо рівняння ціле, то використовують два способи перетворень:

а) заміну змінних (введення нових змінних);

б) розкладання лівої частини рівняння на множники, коли права частина рівна нулю.

Покажемо на прикладі використання цих перетворень:

Задача 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Дане рівняння дробове. Щоб привести його до цілого виду, помножимо обидві частини на спільний знаменник всіх дробів:

(так як ). Будемо пам’ятати, що отримаємо лиш наслідок вихідного рівняння:

Після розкриття дужок і зведення подібних членів в кожній частині рівняння отримаємо:

Перенесемо тепер всі члени в ліву частину і зробимо зведення подібних членів, отримаємо:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

На основі правила отримаємо сукупність лінійних рівнянь:

і , звідси , .

Так як в процесі розв’язання ми використовували перетворення, які приводять до наслідків рівнянь, то необхідна перевірка. Підстановка до вихідного рівняння показує, що х = 0 являється по стороннім коренем (так як 0 не входить в область визначення рівняння), а задовольняє рівнянню:

Відповідь:

Задача 2. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Очевидно, що приведення лівої частини до стандартного виду многочлена лиш ускладнює рівняння. Тому необхідно шукати інші способи розв’язання.

1-й спосіб: Він оснований на розкладанні лівої частини рівняння на множники. Ліва частина рівняння дуже нагадує квадрат суми виражений х²+х+4 і 4х. Але тоді третій доданок повинен бути на 15х², а 16х².

Це легко зробити слідуючим чином

На основі правила отримаємо сукупність двох квадратних рівнянь:

;

Розв’язавши їх знайдемо множину коренів:

х₁= - 2; х_2,3= .

2-й спосіб заснований на підстановці

Тоді вихідне рівняння приймає вид:

Цей квадратний тричлен легко розкласти на множники:

Звідси знаходимо, що y = -5x або у = -3х.

Підставляємо отримані вирази замість ув (1) отримаємо ті ж два квадратні рівняння.