Тема урока: «Перпендикулярность двух плоскостей».

Тема урока: «Перпендикулярность двух плоскостей».

Задание: изучить теоретические основы темы по конспекту или учебнику (Геометрия. Учебник для 10-11 классов - Атанасян Л.С., глава 2, § 3, п. 23), законспектировать задачу № 172, решить задачи самостоятельной работы и ответить письменно на контрольные вопросы.

Теоретический минимум и задачи

- При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° < φ ≤ 90° (рис. 1).

- Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

- Как располагаются стены вашей комнаты по отношению к полу?

Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема:Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3). Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Теорема доказана.

- При решении задач используются утверждения:

1) Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (следствие из признака).

2) Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости (№ 178).

- Решим №172.

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4). Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника , ∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС:

Ответ: 6√3 см.

12 Следующая ⇒