Детали машин. Лекция 2.3. Основы расчета зубчатых передач

Расчёт зубьев цилиндрических прямозубых передач на изгиб и контактную прочность

Расчёт зубьев цилиндрических прямозубых передач на изгиб сводится к определению величины модуля зацепления.

Зацепление пары зубьев заканчивается на окружности выступов ведущей шестерни. В этом случае сила Р_м (рис. ПО) воздействия зуба шестерни на зуб колеса приложена к наиболее удалённой от основания зуба линии, что делает такое положение нагрузки наиболее опасным.

Полное усилие в предположении отсутствия трения между зубьями направлено по общей нормали к соприкасающимся профилям.

Перенося нормальную силу Р_м по линии её действия в точку О, лежащую на оси зуба и раскладывая её по касательной к окружности (окружная сила Р) и по нормали к ней (радиальная сила f) получим

Рис. 110. Расчет зубьев цилиндрических прямозубых передач

Окружная сила изгибает зуб, а радиальная - сжимает. Ввиду малости радиальной силы будем рассматривать условие прочности при изгибе.

Рассматривая зуб как консольную балку с нагрузкой на свободном конце, условие прочности зуба на изгиб имеет вид

Из этого условия изгибающий момент будет

где / - плечо силы Р от опасного сечения;

W_x - осевой момент сопротивления опасного сечения;

[а_и ]- допускаемое напряжение на изгиб.

Для прямоугольного сечения I -1 осевой момент сопротивления будет

где b - ширина зуба (венца);

а' - толщина зуба у основания.

Подставляя значение W_x в уравнение изгибающего момента, имеем

Плечо / и толщина зуба у основания а' пропорциональны модулю т и соответственно равны где к и q - коэффициенты, зависящие от формы зуба, то есть от угла зацепления а и числа зубьев z.

С учётом значений / и а' условие прочности примет следующий вид

Выражение называется коэффициентом формы зуба и обозначается буквой у. Используя это обозначение, получим

Коэффициент формы зуба у для эвольвентного зацепления при угле зацепления а = 20° имеет следующие значения:

Число зубьев... 10 12 14 15 16 18 20

Коэффициенту 0,292; 0,304; 0,324; 0,332; 0,339; 0,354; 0,372;

Число зубев... 25 30 34 40 50 100 300 рейка

Коэффициенту 0,398; 0,416; 0,428; 0,442; 0,457; 0,481; 0,496; 0,523 Для промежуточных значений числа зубьев коэффициент у находится интерполяцией.

Значение модуля определяется через ширину зуба Ь. Ширина зуба через модуль записывается в виде

где у - коэффициент ширины венца.

Коэффициент у = 6... 25. Меньшие значения принимаются для пониженной точности изготовления зубчатых колёс,

а также небольшой жёсткости валов и их опор.

Заменив ширину зуба на её выражение, получим расчётное уравнение в виде

где М- расчётный момент, передаваемый колесом; d_w - диаметр делительной окружности.

Из последнего уравнения имеем

откуда

Здесь модуль т в миллиметрах, если М в Нмм; и [а_и] в Н/мм². Расчётный модуль округляется до ближайшего стандартного значения. Проверочный расчёт зубьев на изгиб проводят по условию:

Допускаемое напряжение изгиба [а_и ] определяется исходя из предела выносливости а., материала, из которого изготовлены шестерня и колесо. Для стали Ст5 а_,=240 Н/мм²; Сталь 35-с_ч=230 Н/мм²; Сталь 45 - <*-1 = 260 Н/мм². Исходя из этого допускаемое напряжение на изгиб равно

Расчёт зубьев на прочность производится с учётом динамического характера приложения нагрузки по ширине зуба. В связи с этим в формулы расчёта модуля и напряжения изгиба необходимо ставить расчётный момент, равный

где М_ном - номинальный момент, определяемый заданной нагрузкой (моментом на валу двигателя или силами сопротивления);

к - коэффициент нагрузки.

При симметричном расположении зубчатых колёс к » 1,3; при несимметричном или консольном расположении хотя бы одного из колёс к* 1,5.

Контакт двух зубьев цилиндрических зубчатых колёс рассматривается как контакт по образующим двух цилиндров. Наибольшие контактные напряжения возникают при соприкосновении зубьев в полюсе.

В основу расчёта зубчатых колёс положена формула Герца, имеющая вид

где q - нормальная нагрузка на единицу длины контактных линий;

Епр - приведенный модуль упругости материалов колёс; р_пр - приведенный радиус кривизны зубьев.

Для прямозубых колёс нормальная нагрузка определяется по формуле

Приведенный модуль упругости равен

где Е и Ег - модули упругости материалов шестерни и колеса. Приведенный радиус кривизны рассчитывается по формуле

где pi и р2 - радиусы кривизны профилей зубьев шестерни и колеса.

Для эвольвентного зацепления радиусы кривизны в точке касания определяются по формулам:

При проектном расчёте необходимо определить межосевое расстояние, которое для эвольвентного зацепления рассчитывается по формуле

где [ст_к] - допускаемое нормальное контактное напряжение;

Мб_Р - расчетный момент на быстроходном валу;

у_0ш - коэффициент ширины колеса.

Допускаемое напряжение определяется исходя из предела выносливости материалов, из которых изготавливаются и в среднем равно

Расчётный момент на быстроходном валу определяется по формуле

где Мб ном - номинальный момент на быстроходном валу, определяемый заданной нагрузкой; кдин - динамический коэффициент; к_мц - коэффициент концентрации нагрузки.

Ориентировочно можно принять:

- при симметричном расположении зубчатых колёс

- при несимметричном или консольном расположении хотя бы одного из сцепляющихся колёс

Коэффициент ширины выбирается в пределах 0,12... 0,4.

Большие значения принимаются для более точных и жёстких передач.

По найденному межосевому расстоянию определяют модуль зубьев по формуле

или, задавшись числом зубьев шестерни и рассчитав число зубьев колса z₂=wz,

Значения модуля округляют до ближайшего большего стандартного значения.

Проверку контактной прочности производят исходя из условия

Детали машин. Лекция 2.3. Основы расчета зубчатых передач

https://www.youtube.com/watch?v=DAjl3QGE9gU