Главная Контакты Случайная статья Автоматизация Антропология Археология Архитектура Биология Ботаника Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Деревообработка Журналистика Зоология Изобретательство Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Косметика Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Материаловедение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыка Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Полиграфия Политология Право Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Электротехника Энергетика
	Дисциплина «Математика». Ход занятия. Изложение нового материала.   17.06.2020г.     1СПХ-6з         Дисциплина «Математика»
преподаватель Садовая Е.В.
Занятие № 5
Тема занятия: Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства. Методы вычисления.
Вид занятия: лекция
Цель дидактическая: дать понятие определенного интеграла, основных его свойств, геометрического смысла; формировать у студентов умение логически мыслить, проводить сравнительный анализ, классифицировать полученную информацию и синтезировать на ее основе.
Студент должен иметь представление:  -- об определенном интеграле и его геометрическом смысле;  -- о связи с неопределенным интегралом; знать: -- определение определенного интеграла и его свойства; -- формулу Ньютона-Лейбница; уметь: --применять формулу Ньютона-Лейбница; -- вычислять простейшие определенные интегралы.

Ход занятия

 Изложение нового материала.  

 Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.                                               

Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек x_i : a=x₁ < x₂ <…< x_n-1 < x_n=b. При этом точки x_i называются точками

      у    

                                                      y=f(x) 

         х₀=а x₁            х_п-1 х_п=b   х

разбиения, отрезки [x_i-1, x_i] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δx_i), а число

| τ | = max ( Δx₁, Δx₂,…, Δx_n )

называется мелкостью разбиения.

Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξ_i и составим сумму вида

, (1)

называемую интегральной суммой функции  f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δx_i и высотами f(ξ_i ).

Определение.

 Если для любого разбиения отрезка [a, b] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при  и :

         = I , (2)                                                                                    

то функция  f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интегралом f(x) на [a, b] и обозначается  Числа а  и b называютсянижними верхним пределами интегрирования соответственно.  

 Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, kÎR);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) (xÎ [a,b]).

Последнее свойство называетсятеоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

ò f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формулаНьютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

 F(b) - F(a).        (3)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл  представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой (при f(x) ≥ 0) сумму площадей прямоугольников с основанием  и высотой . Переходя к пределу при |τ|→0, получаем, что  при  представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции aА₁В₁b, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции f(x) от х = а до x = b и отрезками прямых х = а,  x = b и у = 0

     (4)