Вариант № 8. Список литературы

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Гагарина Ю.А. Институт __ИнЭТМ________ Курс_________2____________ Специальность__б-ИКТСипу21____ Шифр_______182888________ Вариант______8_________ Контрольная/курсовая работа №___________________1_______________________ по _________дискретной математике___________________ (наименование дисциплины) На тему____________________________________________ (полное название темы или номер варианта) Студента Краева Алексея Валерьевича______ (фамилия, имя и отчество полностью) ___________________________________________ Дата отправки работы Отметка о зачете работы: в университет_______________________________________ Дата регистрации работы_____________________________ в университете ______________________________________ ______________________________________

Вариант № 8

1. В третьем семестре изучаются дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание на какой-либо день недели, если в этот день должны быть четыре пары по различным дисциплинам?

Решение:

Ответ: 32760 способов.

2. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются.

Решение:

В нашем случае число кратно пяти, если оно заканчивается цифрой 5. Требуется расставить 5 цифр (1, 2, 3, 4, 6) на первые пять разрядов шестизначного числа. Используем перестановки без повторений: различных элементов можно расположить на местах способами – число перестановок без повторений из элементов:

Значит,

Ответ: 120 шестизначных чисел, кратных пяти.

3. В чемпионате по футболу участвуют команд, причем каждые две команды встречаются друг с другом дважды. Сколько матчей будет проведено?

Решение:

Каждая из 18 команд играет дважды с 17 командами, значит проводит матчей. Учитывая, что команды играют друг с другом, всего будет проведено

Ответ: 306 матчей.

4. Найти выражение для суммы первых «треугольных» чисел (написать формулу для – го «треугольного» числа):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…

Решение:

Пусть треугольное число, тогда

Решим уравнение:

Характеристическое уравнение

значит, решение уравнения

имеет вид

Подберем частное решение исходного уравнения в виде

тогда

подставляем:

откуда

Таким образом,

Так как то

откуда и искомая формула для треугольного числа

Пусть сумма первых треугольных чисел, тогда

Решаем характеристическое уравнение:

частное решение

откуда

значит,

Так как

то

5. Последовательность Фибоначчи задаётся рекуррентным соотношением и начальными условиями . Найти выражение для общего члена последовательности и выписать её первые 18 членов.

Решение:

Составляем характеристическое уравнение:

составим и решим систему

Вычтем из первого уравнения второе:

Тогда

и так далее. Представим в виде таблицы первые 18 членов:

Задание 5.6.1. Найти общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка:

Характеристическое уравнение заданного соотношения:

Непосредственной подстановкой убеждаемся – корень характеристического уравнения.

Понижаем степень характеристического уравнения для чего делим его на:

(х-1)

Выделяем множитель :

В результате деления получим уравнение 4-ой степени

Заметим, что =1 также является его корнем, разделим левую часть уравнения (х-1)

И получим:

Корнем этого уравнения , поэтому поделим этот множитель на (x-4).

Выделяем множитель :

Таким образом,

Решаем квадратное уравнение

Его дискриминант равен:

таким образом, характеристическое уравнение представляется в виде:

Действительному корню кратности 2 соответствуют решение.

Действительному корню кратности 1 соответствует решение.

Действительному корню кратности 1 соответствует решение.

Все эти 5 решений – линейно независимые и общее решение заданного рекуррентного соотношения 5-го порядка является линейной комбинацией этих пяти решений:

Список литературы

1. Акимов, О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы / О.Е. Акимов. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 376 c.

2. Акимов, О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы / О.Е. Акимов. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 376 c.

3. Андерсон, Дж. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. Андерсон. - М.: Диалектика, 2019. - 960 c.

4. Асанов, М.О. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы: Учебное пособие / М.О. Асанов, В.А. Баранский, В.В. Расин. - СПб.: Лань, 2010. - 368 c.

5. Бабичева, И.В. Дискретная математика. Контролирующие материалы к тестированию: Учебное пособие / И.В. Бабичева. - СПб.: Лань, 2013. - 160 c.

6. Баврин, И.И. Дискретная математика для педагогических вузов: Учебник и задачник для прикладного бакалавриата / И.И. Баврин. - Люберцы: Юрайт, 2015. - 208 c.

7. Баврин, И.И. Дискретная математика: Учебник и задачник для СПО / И.И. Баврин. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 209 c.

8. Вороненко, А.А. Дискретная математика. Задачи и упражнения с решениями: Учебно-методическое пособие / А.А. Вороненко. - М.: НИЦ Инфра-М, 2013. - 104 c.

9. Вороненко, А.А. Дискретная математика. Задачи и упр. с реш.: Учебно-методическое пособие / А.А. Вороненко, В.С. Федорова. - М.: Инфра-М, 2018. - 160 c.

10. Галкина, В.А. Дискретная математика: комбинаторная оптимизация на графах / В.А. Галкина. - М.: Гелиос АРВ, 2003. - 232 c.