Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Для вычисления угла между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью во многих случаях удобно использовать скалярное произведение векторов.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а.

Задача 1.Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

Решение.

Пусть и - направляющие векторы прямых а и b. Обозначим буквой φ искомый угол между этими прямыми. Для решения задачи достаточно найти , так как значение позволяет найти угол φ.

Введём обозначение . Тогда либо , если (рис. а), либо , если (рис. б).

Поэтому либо , либо

.В любом случае , а так как , то , и, следовательно, . Используя формулу скалярного произведения векторов

, получаем .

Задача 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты ненулевого вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Решение.

Пусть - направляющий вектор прямой а, - ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α. Это означает, что прямая, на которой лежит вектор , перпендикулярна к плоскости α. Обозначим буквой φ искомый угол между прямой а и плоскостью α, а буквой θ – угол . Пользуясь рисунком, видим, что