Усеченная пирамида

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида это часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Основание и соответствующее сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды.

Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками, их стороны попарно параллельны, боковые грани усеченной пирамиды трапеции.

АВСД – нижнее основание, А₁В₁С₁Д₁- верхнее основание.

ОО₁=H – перпендикуляр проведенный из какой либо точки одного основания на плоскость другого.

ВВ₁Д₁Д- диагональное сечение ( проходит через два боковые ребра

не лежащие в одной грани.

Правильная усеченная пирамида часть правильной полной пирамиды, основания будут правильные многоугольники (квадраты).

КК₁= a - апофема, высота боковой грани правильной усеченной пирамиды.

Типовая задача №1

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 6 и 16 м, высота 12 м. Найти полную поверхность.

Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁- правильная усеченная пирамида.

АВ=16м, А₁В₁=6м, ОО₁=12м.

Найти: S_пол-?

Решение

1. т.к усеченная пирамида правильная, в основаниях лежат квадраты, найдем площадь оснований

2. =АД²=16²=256 м²

3. А₁В₁²=6²=36 м²

5. =4*АВ=4*16=64 м

6. =4*А₁В₁=4*6=24 м

7. =КК₁– апофему найдем из прямой трапеции ОО₁К₁К т.к в основаниях лежат квадраты ,то точка О и О₁ центры вписанных и описанных окружностей, ОК и О₁К₁ – это радиусы вписанных окружностей ( смотрим справочный материал ,где a- сторона квадрата) ОК=r₁, О₁К₁= r₂

Проведем из вершины К₁перпендикуляр К₁Н к нижнему основанию прямой трапеции ОО₁К₁К, рассмотрим – прямоугольный по построению, т.к , К₁Н=ОО₁=12 м, НК= ОК- О₁К₁= 8-3=5 м.

По теореме Пифагора

Ответ: 864 м²полная поверхность усеченной пирамиды.

Типовая задача №2

В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания и , апофема равна 6 см. Найти объем пирамиды

Дано: АВСА₁В₁С₁- правильная усеченная пирамида, АВ= , А₁В₁= , М₁М- апофема=6см.

Найти V-?

Решение.

1. Т.к усеченная пирамида правильная и треугольная, то в основаниях лежат равносторонние треугольники. Найдем площади оснований

2. h= OO₁- ? найдем из прямой трапеции ОО₁М₁М.

3. т.к в основаниях лежат равносторонние треугольники ,то точка О и О₁ центры вписанных и описанных окружностей, ОМ и О₁М₁ – это радиусы вписанных окружностей ( смотрим справочный материал ,где a- сторона квадрата) ОМ=r₁, О₁М₁= r₂

см

4. Проведем из вершины М₁перпендикуляр М₁Н к нижнему основанию прямой трапеции ОО₁М₁М, рассмотрим – прямоугольный по построению, т.к , М₁Н=ОО₁, НМ= ОМ- О₁М₁= 3-1=2см. По теореме Пифагора найдем М₁Н.

см , т.к М₁Н= ОО₁ см