Использование теоретических знаний об арифметических действиях в поиске рациональных способов вычисления

Использование теоретических знаний об арифметических действиях в поиске рациональных способов вычисления

Использование рациональных приёмов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приёмов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом.

Учителю, прежде всего самому, необходимо усвоить теоретические основы рациональных вычислений, научить их использовать, а затем уже овладеть умениями, связанными с обучением учащихся рациональным вычислениям. Приёмы, которые способствуют формированию навыков рациональных вычислений.

1. Приёмы сложения. Рациональные приёмы сложения основываются на коммутативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы. Коммутативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо рядом стоящих слагаемых их суммой, т.е.

(∀ a, b Є Z) a + b = b + a. Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой, т.е.

(∀ a, b, c Є Z) (a + b) + c = a + (b + c). Свойство 1.1 Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число. Свойство 1.2 Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится. Свойство 1.3 Если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Приём 1.1. Округления одного или нескольких слагаемых. Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму чисел, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из неё. Например:

а) 173 + 59 = (173 + (59 + 1)) – 1 = (173 + 60) – 1 = 233 – 1 = 232;

б) 882 + 197 = (882 + (197 +3)) – 3 = (882 + 200) – 3 = 1082 – 3 = 1079;

в) 78 + 364 = 364 + 78 = (360 + 80) + 4 – 2 = 440 + 2 = 442. Приём 1.2. Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом – всех единиц, а затем складывают полученные суммы. Например:

а) 26 + 17 + 85 + 43 = (20 + 10 + 80 + 40) + (6 + 7 + 5 + 3) = 150 + 21 = 171;

б) 328 + 681 + 237 + 495 = (300+600+200+400)+(20+80+30+90)+(8+1+7+5) = = 1500+220+21 = 1000+(500+200)+(20+20)+1 = 1000+700+40+1 = 1741.

Приём 1.3. Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа. Суть приёма. Пусть требуется найти сумму 57+54+53+55+54+52+54+50. Легко заметить, что все эти числа близки к числу 54, поэтому его считают «корневым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

1) находят сумму «корневых» чисел: 54•8=432, так как в сумме 8 слагаемых;

2) находят сумму отклонений каждого числа от «корневого», при этом, если число больше «корневого», отклонение берётся со знаком «плюс», если число меньше «корневого» - со знаком «минус»: 3+0-1+1+0-2+0-4=-3;

3) получившуюся сумму алгебраически прибавляют к результату первого пункта: 432+(-3)=432-3=429. Выбор «корневого» числа не влияет на окончательный результат. Так, если считать, что «корневое» число не 54, а 55, то вычисления будут следующими:

1) 55 • 8 = 440

2) 2 – 1 – 2 + 0 – 1 – 3 – 1 – 5 = - 11

3) 440 – 11 = 429.

«Корневое» число обычно берут таким, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений. Но этот приём используем, если не работаем с отрицательными числами.

Приём 1.4. Вынесение общего множителя. При сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной суммы. Пример: 28+20+36+16 = 4• (7+5+9+4) = 4•25 = 100.

2. Приёмы вычитания. Все приёмы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число, т.е. (∀a₁, a ₂, b Є Z) a₁ – a ₂ = c → ((a₁ ± b) – a₂ = c ± b).

Свойство 2.2. Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц. Свойство 2.3. Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на одно и тоже число, то разность не изменится, т.е. (∀ a₁, a₂, b Є Z) a₁ – a₂= c → ((a₁± b) – (a₂± b) = c).

Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз, т.е.

(∀ a₁, a₂ЄZ, b ЄN) a₁–a₂=c→(a₁•b – a₂•b = c • b)^(a₁:b – a₂:b= c: b).

Приём 2.1. Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц.

Суть приёма поясним на примере.

342 – 26 = (342 – 2) – (26 – 2) = 340 – 24 = 316. Этот приём особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

1285 – 296 = (1285+4) – (296+4) = 1289 – 300 = 1289 – (200+100) = (1289–00) ––100 = 1089 – 100 = 989.

Приём 2.2. Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из неё. Например:

1285 – 296 = 1285 – ((296+4) – 4) = 1285 – (300 – 4) = (1285 – 300)+4 = = 1285 – (200+100)+4 = (1085 – 100)+4 = 985+4 = 989. Приём 2.3. Вынесение общего множителя. При вычитании нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят разность чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной разности. Например:

а) 724 – 148 = 4 • (181 – 37)= 4 • 144 = 2 • 2 • 144 = 2 • 288 = 576;

б) 91 – 35 – 28 = 7 • (13 – 5 – 4) = 7 • 4 = 28.

3. Приёмы умножения. Все приёмы рациональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.

Коммутативный закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест множителей.

Ассоциативный закон умножения. Произведение не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих множителей их произведением.

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не изменится, если заменить его суммой произведений данного числа на каждое из этих слагаемых.

Свойство 3.1. Если один из множителей увеличить в несколько раз, то произведение соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Свойство 3.2. Если один из множителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится.

Свойство 3.3. Если два или несколько множителей данного произведения умножить или разделить на какие-либо числа, то данное произведение соответственно умножится или разделится на произведение этих чисел.

Из этих свойств вытекают следующие приёмы, позволяющие рационализировать вычислительный процесс.

Приём 3.1. Разложение одного из множителей на множители.

Один из множителей представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последовательно умножают второй множитель на эти множители. Данный приём позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.1. Умножение на 4. Умножение на четыре сводится к двукратному умножению на 2. Например: 948 • 4 = (984 • 2) • 2 = (900•2 + 40•2 + 8•2)• 2= (1800+80+16)• 2 = 1896 •2 = = 1000•2 + 800•2 + 90•2 + 6•2 = 2000 + 1600 + 180 + 12 = 3792.

Приём 3.2. Увеличение одного из множителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго множителя во столько же раз.

Один из множителей произведения увеличивают в несколько раз, второй – уменьшают во столько же раз, а затем находим произведение полученных чисел.

Данный приём основан на свойстве 3.2 и позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.3. Умножение чётного числа на 15. Чтобы умножить чётное число на 15, достаточно разделить на два и частное умножить на 30.

Например: 24 • 15 = (24: 2) • (15 • 2) = 12 • 30 = 260.

Приём 3.3. Представление одного из множителей произведения в виде частного двух чисел. Один из множителей произведения представляют в виде частного двух чисел, второй множитель умножают на делимое, а затем делят на делитель. Данный приём позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.4. Умножение на 5. Чтобы умножить на 5, достаточно умножить его на 10 и результат разделить на 2.

Например: 387•5 = (387•10): 2 = 3870: 2 = 3000: 2+800: 2+70: 2 = 1935.

Правило 3.5. Умножение на 25 (250, 2500). Чтобы умножить число на 25 (250, 2500), достаточно умножить его на 100 (1000, 10000) и результат разделить на 4. Например:

а) 137• 25 = (137•100): 4= 13700: 4= (13700: 2): 2 = (10000: 2+3000: 2+700: 2):2 = (5000+1500+350): 2= 6850: 2= 6000: 2+800: 2+50: 2=3000+400+25=3425;

б) 279 • 250 = (279•1000): 4 = 279000: 4 = (279000: 2): 2 = 139500: 2 = 69750.

Правило 3.6. Умножение на 125. Чтобы умножить число на 125, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 8. Например:

398•125= (398•1000): 8 = 398000: 8 = (398000: 2): 4= 199000: 4=(199000: 2): 2= = 99500: 2 = 49750.

Правило 3.7. Умножение на 75. Чтобы умножить число на 75, достаточно разделить его на 4, умножить частное на 3 и результат умножить на 100. Например: 804•75=(804: 4)•3•100= 201 • 3 • 100= 603 • 100= 60300.

Существует интересное правило умножения чётного числа на 55.

Правило 3.8. Умножение чётного числа на 55. Чтобы умножить чётное число на 55, достаточно разделить его на два, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить. Например: 968•55 = 968: 2• (100 +10) = 484• (100+10) = 48400+4840 = 53240.

Приём 3.4. Представление одного из множителей произведения в виде разности двух чисел.

Один из множителей произведения представляют в виде разности двух чисел, второй множитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произведений.

Данный приём позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.9. Умножение на 9. Чтобы умножить на 9, достаточно увеличить его в 10 раз и из полученного результата вычесть само число.

Например: 87 • 9 = 87 • 10 – 87 = 870 – 87= 783.