Показательные неравенства. Ссылка на видео урок. https://cknow.ru/knowbase/553-223-pokazatelnye-neravenstva.html . Образец. Решить самостоятельно (по образцу)

Показательные неравенства

Ссылка на видео урок

https://cknow.ru/knowbase/553-223-pokazatelnye-neravenstva.html

Решать показательные неравенства следует аналогично к показательным уравнениям. Однако следует обратить внимание на свойства показательных неравенств:

1. Если основание степени находится в пределах от нуля до единицы, то:

2. Если же основание степени больше единицы, то:

3. Если основание степени находится в пределах от нуля до единицы, а в неравенстве с одной стороны степенная функция, а с другой стороны число, то:

4. Аналогичная ситуация для основания степени большего за единицу:

Образец

²^x⁺² ≤ 64⁵⁺^x

Решение. Представим левую и правую часть неравенства в виде степеней с основанием 2. (Используем свойства :

= a^-1; (a^m)ⁿ= a^{m n} ; a^m ∙ aⁿ = a^m+n ; a^m : aⁿ =a^m-n )

2^-(2^x^{+ 2)} ≤ 2^{6 (5 +}^x⁾; так как основание степени больше единицы, то показательная функция y = 2^t является возрастающей, следовательно знак неравенства при переходе от показательного неравенства к алгебраическому сохраняется, значит:

-(2x + 2) ≤ 6(5 + x);

-2x – 2 ≤ 30 + 6x;

-2x – 6x ≤ 30 + 2;

-8x ≤ 32; (делим обе части неравенство на отрицательное число (-8), при этом знак неравенства меняется на противоположный);

x ≥ -4.

Ответ. [-4; + ∞).

Решить самостоятельно (по образцу)

²^x^-1 ≤ 27⁴⁺^x

⁸^x⁺² < 25^{3+ 2}^x

²^x^-3 > 49⁵⁺^x