![]()
|
|||
Несобственный интегралНесобственный интеграл Основные определения О1. Понятие определенного интеграла существенно использовало два требования: 1) конечность промежутка [a, b], по которому идет интегрирование; 2) ограниченность интегрируемой функции f(x). Если эти требования не выполняются, то необходим дополнительный переход к пределу, и возникающий при этом переходе интеграл принято называть несобственным. О2. Несобственный интеграл Несобственный интеграл первого рода Несобственный интеграл первого рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел в Рассмотрим 3 случая: Для начала надо убедиться, что наш несобственный интеграл непрерывен на всём интервале и не терпит нигде разрыва. 1) Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен +∞: т.е. Для вычисления такого несобственного интеграла необходимо: · вычислить первообразную и перейти к пределу; · воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Пример 1: Пример 2:
Пример 3: Несобственный интеграл расходится. Пример 4: Пример 5:
2) Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен −∞, а верхний конечен, т.е. По алгоритму этот вариант ничем не отличается от предыдущего. Только теперь мы должны a устремить к −∞ (a→−∞).
Пример 6:
Пример 7:
Несобственный интеграл расходится. Пример 8: 3) И последний вариант, когда нижний предел равен −∞, а верхний – +∞, т.е. Для решения интегралов такого типа нужно предварительно представить выражение в виде суммы двух несобственных интегралов, один из которых с конечным верхним пределом интегрирования, другой – с конечным нижним пределом интегрирования, т.е.
Причём этот несобственный интеграл считается сходящимся, если оба предела существуют, когда a и b независимо друг от друга неограниченно возрастают по абсолютной величине. Пример 9:
Пример 10:
Пример 11:
Несобственный интеграл второго рода Если функция f(x) терпит бесконечный разрыв (не существует): · в точке x = a; · в точке x = b; · в обеих точках сразу; · на отрезке интегрирования, то говорят о несобственном интеграле второго рода. Прежде чем начать решение, мы должны проверить пределы интегрирования, подставив в подынтегральную функцию. Затем перейти к пределу, вычислить первообразную и воспользоваться модифицированной формулой Ньютона-Лейбница. 1) Если подынтегральная функция не существует в точке x = a, то предел стремится уже не к бесконечности, а к значению «a» справа. Пример 12:
2) Если подынтегральная функция не существует в точке x = b, то предел стремится к значению «b» слева. Пример 13:
3) Если подынтегральная функция не существует на обоих концах отрезка, то представляем выражение в виде суммы двух несобственных интегралов и используем методику из прошлых случаев. Пример 14:
4) Если подынтегральная функция терпит разрыв на отрезке интегрирования, то представляем выражение в виде суммы, разбивая её в точке разрыва. Пример 15:
Не существует в общем случае.
|
|||
|