Криволинейные интегралы I–го и II–го рода.

Криволинейные интегралы I–го и II–го рода.

1. Криволинейные интегралы I рода.

а. Если плоская кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), , то криволинейные интегралы I рода вычисляется:

б. Если плоская кривая L задана параметрическими уравнениями x=x(t) y=y(t), где x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемые функции параметра t при, токриволинейные интегралы I рода вычисляется:

в. Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r(j), , то криволинейные интегралы I рода вычисляется:

Задача. Вычислить криволинейный интеграл , где L дуга параболы заключенная между точками (2,2) и (8,4).

2. , , при

Задача. Вычислить криволинейный интеграл , где L контур треугольника АВО с вершинами А(1,0) В(0,1) О(0,0).

а. ,

б. ,

в. ,

Задача. Вычислить , где L: контур окружности

1. Перейдем к полярной системе координат

Задача. Вычислить криволинейный интеграл I рода по пространственной кривой, где L– дуга кривой заданной параметрический x=t cost, y=t sint z=t, при 0≤t≤π.

1. а.

б.

в.

Задача. Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга параболы , отсеченная параболой

1. ,

2. Криволинейные интегралы II рода (по координатам)

а. Если плоская кривая задана уравнением y=y (x) и при перемещении из точки А в точку В х меняется от а до b, то криволинейные интегралы II рода вычисляется:

б. Если плоская кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t) и при перемещении из точки А в точку B и параметр t меняется от α до β, то криволинейные интегралы II рода вычисляется:

Задача. Вычислить где, L – дуга параболы пробегаемой от точки А(–1,1) до точки В(1,1).

1. , при

Задача. Вычислить , где L – отрезок прямой, соединяющий точки А(1,1,1) и В(2,3,4).

1. Т.к. мы имеем пространственную линию, то данный интеграл можно вычислить перейдя к параметрическим уравнениям прямой проходящей через точку A и параллельно вектору

Задача. Вычислить интеграл, где L: верхняя половина эллипса пробегаемая по ходу часовой стрелки.

1. Воспользуемся параметрическими уравнениям эллипса:

, при пробегая от до 0.