КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Двойной интеграл в полярных координатах

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть в ограниченной замкнутой области D на плоскости Oxy определена непрерывная функция z = f(x,y). Разобьем область D на n областей с площадями DS_i , в каждой из них выберем произвольную точку ( x_i , y_i ) и составим интегральную сумму . Предел этой суммы при неограниченном увеличении числа областей разбиения и при стремлении диаметра наибольшей области max d_i к нулю называется двойным интегралом от функции z = f(x,y) по области D :

Элементарная площадь dS в декартовых координатах dS = dxdy`.

Для вычисления двойного интеграла важное значение имеет вид области D.

a) б)

y y

y=j₂(x) I II

DDD D

y=j₁(x)

0 a в x 0 x

Рис. 1.

Если область D может быть задана так, как показано на рис.1.а, двойной интеграл вычисляется по формуле

. ( 1 )

Если область D имеет вид такой, как показано на рис.1.б, двойной интеграл вычисляется по формуле

( 2 )

В более сложных случаях область D разбивают на простые области типа I и II и пользуются свойством аддитивности двойного интеграла:

если D = D₁ + D₂ , то .

Двойной интеграл в полярных координатах

Переход от прямоугольных декартовых координат к полярным выполняется по формулам

, ( 3 )

при условии, что полюс помещен в начале координат и полярная ось направлена вдоль оси Ox . Элемент площади в полярных координатах имеет вид:

dS = rdrdj.

Рис. 2.

Если область D задана так, как показано на рис.2 ( j₁£ j £ j₂, , r₁(j) £ r £ r₂(j) ), то переход к полярным координатам в двойном интеграле выполняется по формуле:

. ( 4 )

Если область D охватывает начало координат, в ( 4 ) надо положить r₁(j) = 0 .

Приложения двойных интегралов

Площадь плоской области D на плоскости Oxy вычисляется по формуле:

. ( 5 )

Если D - плоская пластинка, лежащая в плоскости Oxy, с поверхностной плотностью , то массу пластинки находят по формуле

. ( 6 )

Пример 1: С помощью двойного интеграла вычислить площадь области, ограниченной линиями y = x² - 1 и y = 2.

Решение: Построим область D. . Граница y = x² – 1 - парабола, ось которой совпадает с осью Oy, а вершина расположена в точке ( -1, 0 ). Граница y = 2 – прямая, параллельная оси Ox. Область D симметрична относительно оси Oy , поэтому найдем площадь правой половинки области S₁, а затем удвоим ее.

-1 0 1 x

Pис. 3.

Спроектируем область D на ось Oy и воспользуемся для вычисления

двойного интеграла формулой (13):

Тогда площадь всей области D равна S = 2S₁=4 .

Ответ: S = 4 .

Пример 2. Вычислить площадь плоской области, ограниченной кривой .

Решение: Введем полярные координаты ( 14 ), тогда уравнение кривой примет вид или .

Область D показана на рис. 4.

r=2acos³j

Рис. 4.

Эта область симметрична относительно оси , поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить. Для верхней половины угол j меняется от 0 до p / 2, а r меняется от 0 до ,

поэтомy

Ответ: Площадь всей области (кв.ед.).

Пример 3: С помощью двойного интеграла вычислить массу плоской пластинки, ограниченной линиями , , с заданной плотностью .

Решение: Построим область D (рис.6).

Рис. 5

Эта область ограничена двумя параболами. Проекцией области на ось Ох является отрезок [ 0 ; 1 ]. Массу пластинки найдем по формуле (17), вычисляя

двойной интеграл по формуле (1):

Ответ: ед. массы.

Пример 4. Вычислить массу плоской пластинки, ограниченной линиями

Поверхностная плотность

Решение: Построим область D. Уравнение является уравнением окружности с центром в точке (2; 0) и радиусом 2 . Уравнение является уравнением окружности с центром в точке (3; 0) и радиусом 3 . Уравнения задают прямые линии (см. рис.6).

При вычислении массы пластинки по формуле (6) перейдем к полярным координатам (3). Тогда уравнения границ области D примут вид:

Поверхностная плотность в полярных координатах

r=4cosj

r=6cosj

y=Ö3 x

Рис.6

Тогда масса пластинки равна

Oтвет: 19 ед. массы.

Тройной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть в области V, заданной в пространстве и ограниченной замкнутой поверхностью S, определена непрерывная функция f(x,y,z) .Разобьем область V на n частичных областей ΔV_i , в каждой области выберем произвольную точку (x_i,y_i,z_i)и составим интегральную сумму . Предел этих сумм при неограниченном увеличении числа областей разбиения n и при стремлении к нулю диаметра наибольшей области max d_i называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V :

В декартовых координатах элемент объема dV=dxdydz.

z=j₂(x,y)

Рис. 7.

Пусть пространственная область V проектируется в область D на плоскости Oxy и ограничена снизу поверхностью , сверху — поверхностью , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. (см. рис. 7). В этом случае тройной интеграл вычисляется по формуле

(7) или

(7΄)

В формулах (18) и (18') возможно изменить порядок интегрирования, проектируя область D в какую-либо другую координатную плоскость.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Рис. 8.

Декартовы координаты точки M(x,y,z) связаны с цилиндрическими координатами j, r, z соотношениями:

, (8)

где причем

Cвязь между декартовыми и сферическими координатами j, q, r точки имеет вид:

(9)

где причем

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам осуществляется по формуле:

, (10)

где V¢ - область изменения цилиндрических координат, соответствующая объему V .

Переход в тройном интеграле к сферическим координатам выполняется по формуле:

, (11) где V¢ - область изменения сферических координат, соответствующая объему V.

Приложения тройного интеграла

Объем пространственного тела V находится по формулам:

в прямоугольных координатах: , (12)

в цилиндрических координатах: (13)

и в сферических координатах: . (14)

Масса тела с плотностью , занимающего пространственную область V , находится по формуле

, (15)

в которой при необходимости можно перейти к цилиндрическим или cферическим координатам в соответствии с (10) и (11).

Пример 5. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: , , z = 0, z + y=0.5. Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Тело ограничено снизу плоскостью Oxy (z = 0), сверху — плоскостью z + y = 0.5, параллельной оси Oz. Боковая поверхность образована двумя цилиндрическими поверхностями (см. рис. 10).

Объем тела вычисляется по формуле (18):

x=2Ö2y

x=12Ö2y

1/2

z+y=1/2

Рис.9

Ответ: V = 2/3 (ед.³).

Пример 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , . Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Тело ограничено снизу поверхностью параболоида с вершиной в начале координат ( ), сверху – полусферой радиусом 3 ( ). Проекцией тела в плоскость Оху является круг с центром в начале координат, радиус которого можно найти, исключая z из уравнения параболоида. Получим .

Рис. 10.

Объем тела V удобно вычислить в цилиндрических координатах по формуле (24). В этом случае уравнение полусферы принимает вид , а уравнение параболоида . Тогда

Ответ: V= (ед.³).

Пример 7 . Найти объем тела, ограниченного поверхностями , . Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость .

Решение:

z=Öx²+y²/3

z₀

R₀

Рис. 11.

Тело ограничено снизу поверхностью конуса , а сверху - поверхностью полусферы . Проекцией тела в плоскость является круг с центром в начале координат. Уравнение ограничивающей его окружности получим после исключения из уравнений конуса и полусферы: , или после простых преобразований: .

Объем тела удобно вычислять, переходя к сферическим координатам. Запишем в сферических координатах (9) уравнение сферы и конуса: и , где - угол при вершине конуса, который найдем из уравнения (см. рис. 11). Мы нашли, что , тогда (из уравнения конуса). Следовательно, и . Уравнение конуса в сферических координатах: .

Тогда объем тела по формуле (14) равен

Ответ: V= (ед.³).

Пример 8 . Найти массу тела, ограниченного поверхностями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1, если задана его плотность γ(x, y, z)= Сделать чертеж данного тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Заданное тело ограничено координатными плоскостями и наклонной плоскостью (см. рис. 12)

Массу тела вычислим по формуле (15):

0,034.

x+y+z=1

x+y=1

Рис.12

Ответ: m 0,034 (ед. массы).

Пример 9. Найти массу тела с плотностью γ(x, y, z)=x²+y², ограниченного поверхностями z= , z=2-x²-y² . Сделать чертеж тела и его проекции в плоскость Oxy.

Решение: Заданное тело ограничено поверхностями конуса z= и параболоида z=2-x²-y². Проекцией тела в плоскость Oxy является круг, ограниченный окружностью x²+y²=1 (см. рис. 13).

z=Öx²+y²

Рис. 13

Ограничивающие тело поверхности имеют простые уравнения в цилиндрической системе координат (8): конус z=ρ, параболоид z=2-ρ². Массу тела вычислим по формуле (15); записав функцию плотности в цилиндрических координатах: γ=ρ². Тогда

m= = =

= = =

= =2 =

Ответ: m= (ед. массы).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление

для ВТУЗов. Том 2. - М.: Наука, 1978. - 430 с.

2. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов

/Под ред. Б.П.Демидовича. - М.: Наука, 1977. - 472 с.

Разработали: В.В.Аверин, канд. техн. наук, доцент

М.Ю.Соколова, канд. техн. наук, доцент