Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра.

Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра.

Параметр a – это число, которое может принимать любые значения из R. Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение / неравенство. Примеры:

1) уравнение a x=2 при всех a≠0 имеет единственное решение x=2/a, а при a=0 не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид 0=2).

2) уравнение a x=0 при всех a≠0 имеет единственное решение x=0, а при a=0 имеет бесконечно много решений, т.е. x∈ R (т.к. тогда уравнение принимает вид 0=0).

Заметим, что I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (f(a)), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая: первый, когда f(a)≠0, и в этом случае можно разделить обе части равенства на f(a); второй случай, когда f(a)=0, и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение a (см. пример 1, 2).

II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая: первый, когда f(a)>0, и в этом случае можно делить обе части неравенства на f(a); второй, когда f(a)<0, и в этом случае при делении обеих частей неравенства на f(a) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный; третий, когда f(a)=0, и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение a.

Пример: 3) неравенство a x>3 при a>0 имеет решение x>3/a, при a<0 имеет решение x<3/a, а при a=0 не имеет решений, т.к. принимает вид 0>3.

25. Уровень задания: Равен ЕГЭ. Найти, при каких значениях параметра a уравнение x−a⋅(a(x²+1)+a²x+x)=0 имеет единственное решение.

26. Уровень задания: Равен ЕГЭ. Решить уравнение

27. Уровень задания: Равен ЕГЭ. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением неравенства является луч (может быть, открытый).

28. Уровень задания: Равен ЕГЭ. При всех допустимых значениях параметра a решите неравенство