Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции

ПРИМЕР.

Пусть дана парабола y = x²и две прямые x = 2,y = 4x - 4, имеющая с данной параболой одну общую точку A (2;4). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

рис.1 рис.2

Определение

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f(x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция

y = =|x| в точке (0; 0).

Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции

y = arcsin x в точке (1; ).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(x₀).
3. Найти f '(x) и f '(x₀).
4. Подставить найденные числа x₀, f(x₀), f '(x₀) в общее уравнение касательной

y = f(x0) + f '(x0)(x – x0).

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x³ – 4x + 1в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

f(3) =

1. x₀ = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x² – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ≠ 6 (рис. 2).

1. x₀ – абсцисса точки касания.
2. f(x₀) = – a² – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – x₀² – 4x₀ + 2 – 2(x₀ + 2)(– 3 – x₀),
x₀² + 6x₀ + 8 = 0 .

x₀= – 4, x₀ = – 2.

Если x₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если x₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x³ – 3x² + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение.

1. x₀ – абсцисса точки касания.

2. f(x₀) = x₀³ – 3x₀² + 3.

3. f '(x) = 3x² – 6x, f '(x₀) = 3x₀² – 6x₀.

Но, с другой стороны, f '(x₀) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3x₀² – 6x₀ = 9. Его корни

x₀ = – 1, x₀ = 3 (рис. 3).

4. 1) x₀ = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f '(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) x₀ = 3;
2) f(3) = 3;
3) f '(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. x₀= 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f '(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Напишите уравнения касательных к параболе

y = 2x² – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. x₀= 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

2.Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7.

Найдем tg( ) = - ctg = -

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен - .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

f´(c) = 4c – 5c = - => c =

1. c = – абсцисса второй точки касания.
2. f ( = -
3. f ´ ( = -
4. y = -

y = – уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k₁•k₂ = – 1.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x² – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x² – ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3)?

Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x² – 4x – 2?

Ответ: p₁ = – 10, p₂ = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x³ и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).