Линия тангенсов.. Уравнение tg x = a

Линия тангенсов.

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная АВ к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников ОАВ и ONM имеем:

Но OA=1, MN=sin x, ON=cos x, поэтому AB=tg x

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

tg x = 0

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

Имеем диаметральную пару:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

Уравнение tg x = a имеет решения при любом a. Эти решения изображаются диаметральной парой точек:

Как и в случае арксинуса, роль арктангенса отведена правой точке. Точнее:

Арктангенсом числа называется угол , такой, что .

Обозначение: . Область определения арктангенса – промежуток . Область значений –интервал (-П/2;П/2).

На нашем рисунке является одним из углов, соответствующих точке .

А почему в определении арктангенса исключены концы промежутка – точки ? Дело в том, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа , равного тангенсу какого либо из этих углов.

Записать решения уравнения tg x = a совсем просто

Тем самым мы фактически разобрались и с уравнением при . В этом случае оно равносильно уравнению , и можно сразу записать ответ:

Но можно использовать и арккотангенс. Такая функция тоже существует, и вот её определение.

Арккотангенсом числа называется угол , такой, что ctg = a.

Тогда решения уравнения при любом имеют вид:

Подведём итог. Соберём формулы для решений простейших тригонометрических уравнений в небольшую таблицу.

Уравнение	Решения