Формула полной вероятности.. Формула проверки гипотез (формула Бейеса). Задачи

Формула полной вероятности.

Формула проверки гипотез (формула Бейеса)

Формула полной вероятности:

(1)

Формула проверки гипотез или формула Бейеса:

(2)

Задачи

1. В двух ящиках содержится по 15 деталей, причем в первом ящике – 9, а во втором 10 стандартных деталей. Из первого ящика наудачу извлечена одна деталь и переложена во второй ящик. Найти вероятность того, что извлеченная после этого из первого ящика деталь окажется стандартной.

Ответ:0,6.

2. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Ответ: .

3. В каждом из 15 билетов имеется два вопроса. Студент знает ответы на 25 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого достаточно ответить на два вопроса билета или на один вопрос билета и на один дополнительный вопрос из другого билета.

Ответ: 0,94.

4. Сообщение состоит из «точек» и «тире». Помехи искажают «точек» и »тире» (при искажении каждый сигнал переходит в противоположный). В сообщении «точки» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принята «точка»; принято «тире».

Ответ: 0,75; 0,5.

5. Три стрелка выстрелили по мишени, в которой после этого была обнаружении одна пуля. Определить вероятность того, что пуля принадлежит каждому из стрелков, если вероятности попадания в мишень для каждого из них соответственно равны 0,2; 0,4; 0,6.

Ответ: 0,103; 0,276; 0,621.

Событие - извлеченная из 1-го ящика деталь оказалась стандартной.

Гипотезы: - из 1-го ящика переложили во 2-ой стандартную деталь, ;

- из 1-го ящика переложили во 2-ой нестандартную деталь, .

Условие полноты выполняется: .

События:

- извлеченная из 1-го ящика деталь оказалась стандартной при условии, что из 1-го ящика переложили во 2-ой стандартную деталь, ;

- извлеченная из 1-го ящика деталь оказалась стандартной при условии, что из 1-го ящика переложили во 2-ой нестандартную деталь, .

По формуле полной вероятности:

Ответ: вероятность того, что извлеченная из первого ящика деталь окажется стандартной равна .

Событие - извлечен белый шар.

Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

- в урне белых шаров нет, ;

- в урне один белый шар, ;

- в урне два белых шара, , так как равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Условие полноты выполняется: .

События:

- извлечен белый шар при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, ;

- извлечен белый шар при условии, что первоначально в урне был один белый шар, ;

- извлечен белый шар при условии, что первоначально в урне было два белых шара, .

По формуле полной вероятности:

Ответ: вероятность того, что извлеченный шар оказался белым равна .

Событие - студент сдаст экзамен.

Гипотезы:

- студент знает ответы на оба вопроса билета (и на 1-ый вопрос знает ответ, и на 2-ой вопрос знает ответ), ;

- студент знает ответ на один вопрос билета и на один дополнительный вопрос,

;

- студент не знает ответы на оба вопроса билета, ;

- студент знает ответ на один вопрос билета и не знает ответ на один дополнительный вопрос,

;

Условие полноты выполняется:

События:

- студент сдаст экзамен при условии, что он знает ответы на оба вопроса билета, ;

- студент сдаст экзамен при условии, что он знает ответ на один вопрос билета и на один дополнительный вопрос, ;

- студент сдаст экзамен при условии, что он не знает ответы на оба вопроса билета, ;

- студент сдаст экзамен при условии, что он знает ответ на один вопрос билета и не знает ответ на один дополнительный вопрос, .

По формуле полной вероятности:

Ответ: студент сдаст экзамен с вероятностью .

4. Сообщение состоит из «точек» и «тире». Помехи искажают «точек» и «тире» (при искажении каждый сигнал переходит в противоположный). В сообщении «точки» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принята «точка»; принято «тире».

1) Событие - принята «точка»,

Гипотезы: - на передающем конце «точка», ;

- на передающем конце «тире», .

Условие полноты выполняется: .

События:

- принята «точка» при условии, что на передающем конце «точка», ;

- принята «точка» при условии, что на передающем конце «тире», .

Итак, принята «точка». Найдем вероятность того, что на передающем конце была «точка» по формуле проверки гипотез:

2) Событие - принято «тире».

Гипотезы: - на передающем конце «точка», ;

- на передающем конце «тире», .

Условие полноты выполняется: .

События:

- принято «тире» при условии, что на передающем конце «точка», ;

- принято «тире» при условии, что на передающем конце «тире», .

Итак, принята «тире». Найдем вероятность того, что на передающем конце было «тире» по формуле проверки гипотез:

Ответ: , .

Событие - в мишени обнаружена одна пуля.

Гипотезы:

- пуля принадлежит первому стрелку, ;

- пуля принадлежит второму стрелку, ;

- пуля принадлежит третьему стрелку, .

Условие полноты выполняется: .

События:

- в мишени обнаружена одна пуля при условии, что пуля принадлежит первому стрелку, ;

- в мишени обнаружена одна пуля при условии, что пуля принадлежит второму стрелку, ;

- в мишени обнаружена одна пуля при условии, что пуля принадлежит третьему стрелку, .

Итак, в мишени обнаружена одна пуля. Определим вероятность того, что пуля принадлежит первому, второму и третьему стрелкам по формуле проверки гипотез:

Ответ: , , вероятнее всего, что пуля принадлежит третьему стрелку.