ПОДГОТОВКА К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №16

ПОДГОТОВКА К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №16

Основные понятия

Элементы комбинаторики

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой P_n= n!

Задача 1

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Задача 2

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы P_n= n!

Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек:

Сочетаниями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. .

Задача 3

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение:

Ответ: 1365 способами

Задача 4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

Решение:

Ответ: 7140

Размещения

Размещениями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле

Задача 5

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Решение: способами.
Другой вариант решения: способами можно выбрать 2-х человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506

Правило сложения и правило умножения комбинаций:

1) Знак «сложения» следует понимать и читать как союз ИЛИ.

Задача 6

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1-му объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13-ти девушек, Евгений – тоже любую из 13-ти девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13-ти девушек тоже может пригласить на танец любого из 10-ти юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2-х юношей и 2-х девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

возможных групп артистов.

Задача 7

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

Практические задания:

Вариант 1

Пример 1. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Пример 2. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Пример 3. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Пример 4. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределение мест между ними возможно?

Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 78 человек?

Пример 6. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Вариант 2

Пример 1. Пусть даны шесть цифр: 1; 3; 8; 4; 5. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Пример 2. Студенты института изучают в каждом семестре по девять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Пример 3. В группе из 28 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Пример 4. В соревнованиях участвовало пять команд. Сколько вариантов распределение мест между ними возможно?

Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 87 человек?

Пример 6. Студенческая группа состоит из 25 человек, среди которых 22 юноши и 3 девушки. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?