Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

z = a +bi -это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме основаны на алгебраических преобразованиях (приведение подобных слагаемых, группировка, вынесение за скобки общего множителя, раскрытие скобок и т. п. )

Рассмотрим два комплексных числа z₁=a₁+b₁i и z₂ =a₂+b₂i

1. z₁=z₂ ↔ a₁=a₂ и b₁=b₂

2. z₁+z₂ = (a₁+b₁i) + (a₂+b₂i) = a₁+b₁i+a₂+b₂i = (a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

3. z₁-z₂ = (a₁+b₁i) - (a₂+b₂i) = a₁+b₁i-a₂-b₂i = (a₁-a₂)+(b₁-b₂)i

4. z₁∙ z₂ = (a₁+b₁i)( a₂+b₂i) = a₁a₂+a₁b₂i+b₁ia₂+b₁b₂i²= (a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i

z₁	=	a₁+b₁i	=	(a₁+b₁i)( a₂-b₂i)
z₂	=	a₂+b₂i	=	(a₂+b₂i)( a₂-b₂i)

Примеры:

1). z1= 2 – 3i; z2=6+2i

z₁ + z₂ = 2 – 3i + 6 + 2i = 8 – i

z₁ – z₂ = 2 – 3i – 6 – 2i = - 4 – 5i

z₁∙ z₂ = (2 – 3i)(6 + 2i) = 12 + 4i – 18i – 6i² = 12 – 14i + 6 =18 – 14i

z₁ = 2 – 3i = (2 – 3i)(6 – 2i) = 12 – 4i – 18i + 6i² = 12 – 22i – 6 = 6 – 22i =6– 22i

z₂ 6 + 2i (6 + 2i)(6 – 2i) 36 – 4i² 36 + 4 40 40 40

2). z1 =5 – i; z2= 1- i; z3= 3+2i

2z₂– z₃= 2(1-i) – (3+2i) = 2 - 2i – 3 - 2i = -1 – 4i

5z₁+ z₂ = 5(5- i) + 1 – i = 25 – 5i + 1 – i = 26 – 6i

Выполнить самостоятельно:

z1 = 3 – 4i; z2 = 4 + i; z3 = - 2 + 3i;

Найти: z₁+ 3z₃; z₂– z₃; 2z₁ + 3z₂; z₁∙ z₂; z₂∙ z₃; z₂: z₁; (z₁ + 3z₃): z₂

Решение квадратных уравнений.

Пример 1.

x² + 1 = 0; x² = - 1 = i²; x = ±√ i²= ±i; x₁ = -i; x₂ = i

Пример 2.

x² + 36 = 0; x² = - 36 = 36i²; x = ±√ 36i² = ±6i; x₁ = - 6i; x₂ = 6i;

Пример 3.

x² + x + 2 = 0;

D = b² – 4ac = 1² - 4∙ 1∙ 2 = - 7 = 7i²;

x₁= (-b - √ D): 2a = (-1 - √ 7 i): 2 = -1/2 - √ 7/2 i;

x₂= (-b + √ D): 2a = (-1 +√ 7 i): 2 = -1/2 + √ 7/2

Выполнить самостоятельно:

Решить уравнение:

1). х² + 4 = 0; 2). х² + х + 3 = 0; 3). х² – 2х + 5 = 0;

4). х² – 7х + 20 = 0; 5). х² + х + 7 = 0

Выполнить самостоятельно:

Вариант 1

1. Решить уравнение:

а). х² + 25 = 0; б). х² – 6х + 10 = 0; в). х² + х + 1 = 0; г). х² – 2х + 4 = 0

2. Вычислить:

[(z₁ + 2z₂)∙ z₃]: (z₁∙ z₂), если z₁ = 5 + i, z₂ = -1 – i, z₃ = 7 – i

Вариант 2

1. Решить уравнение:

а). х² + 9 = 0; б). х² – 2х + 6 = 0; в). х² – 4х + 16 = 0; г). х² – 3х + 5 = 0

2. Вычислить:

[(z₁ + 2z₂)∙ z₃]: (z₁∙ z₂), если z₁ = 3 + i; z₂ = -2 + i; z₃ = 8 + i

⇐ Предыдущая 12