Задание 1. Подведение под знак дифференциала и введение новой переменной.

1. ;         2. ;             3. ;                4. ;

5. ;               6. ;       7. ;            8. ;

9. ;        10. ; 11. ;     12. ;

13. ;       14. ;      15. ;     16. ;

17. ;    18. ;         19. ; 20. ;

21. ;       22. ; 23. ; 24. ;      

25. .         

Задание 3. Интегрирование рациональных функций.

1. ;             2. ;        3. ;       4. ;

5. ;        6. ;          7. ;       8. ;

9. ;          10. ; 11. ;   12. ;

13. ;    14. ; 15. ; 16. ;

17. ; 18. ; 19. ; 20. ;       

21. ; 22. ; 23. ; 24. ;

25. .           

Задание 4. Интегрирование тригонометрических функций.

Задание 5. Интегрирование радикалов.

Задание 6. Вычисление площадей

1. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями xy = 6, x + y – 7 = 0.

б) Найти площадь, ограниченную кривой r = a sin 2j.

2. а) Найти площадь, ограниченную параболами у² =2рх и х² = 2ру.

б) Доказать, что площадь трех петель кривой r = a sin 3j  равна ¼ площади

   описанного круга.

3. а) Найти площадь, ограниченную линиями у = х², у = 2х², у = 3.

б) Найти площадь, ограниченную линией  r = 2 sin²j.

4. а) Найти площадь, ограниченную линиями у = ¼ х², у = 3 - х²/2.

б) Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля  r = 2+ cos j.

5. а) Найти площадь, ограниченную линиями: ху = 1, у = х², у = 2.

б) Вычислить площадь, ограниченную астроидой: .

6. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x² + 4x, y = x + 4.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r = a cos2j.

7. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y = 1/(1 + x²), y = x²/2.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r = 2 sin3j.

8. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x³, y = 2x.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой r = cos²j.

9. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями 4y = x², y² = 4x.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r =a(2 + cosj).

10. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями 8x - y³ =0, x² = 16y.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой  r = sinj cos²j.

11. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y = 2x, y = 3x, y = 5.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r = a sin4j.

12. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y =0, x = 0, y = x² + 4x - 5.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: .

13. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y² =2x + 1, x – y - 1 = 0.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r =5(1 - cosj).

14. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x³, y = 2x, y = x².

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r² =a² cos2j.

15. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями y² = (4 - x)³, x = 0.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой: r =aj; jÎ [2p; 4p].

16. а) Найти площадь фигур, на которые парабола у² = 6х делит круг х² + у² = 16.

б) Найти площадь, ограниченную кривой r = a(1+ cosj).

17. а) Найти площадь фигуры, заключенной между параболой y = -x² + 4x – 3 и

      осью Ox.

б) Найти площадь фигуры, ограниченной линией  r = a sin3j.

18. а) Вычислить площадь, ограниченную линиями 6х – у² = 0 и х² – 6у = 0.

б) Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

    и осью абсцисс.

19. а) Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью х² + у² = 16 и

     параболой х² = 12(у – 1).

б) Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли r² = 9cos2j.

20. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболами у = х² и у = х³/3.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой y = a sin³t, x = acos³t.

21. а) Вычислить площадь, ограниченную кривыми у = е^х, у = е^-х и прямой х = 1.

б) Вычислить площадь, заключенную внутри эллипса .

22. а) Найти площадь сегмента, отсекаемого прямой x + y – 4 = 0 от круга, ограничен-

     ного окружностью х² + у² = 16.

б) Вычислить площадь, описываемую. Радиус-вектором спирали Архимеда  r = aj

     при одном его обороте, если началу движения соответствует j = 0.

23. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² – 6x + 10,

     y = 6x – x², x = -1.

б) Вычислить площадь одного лепестка кривой r = a cos4j.

24. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х – х² и у = -х.

б) Вычислить площадь, ограниченную кривой r = a cos3j (трехлепестковая роза).

25. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = arcsin x, y = ± p/2, x=0.

б) Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = 2a cos3j и лежащую вне

     круга r = a.