Ковариационные матрицы.

Семинар 4

Ковариационные матрицы.

1. Пусть случайные величины, такие что

Найдите:

a) Ковариационную матрицу вектора

Решение:

a) Ковариационная матрица:

2. Сибирский крокодил Утундрий решил заняться риск-менеджментом. Он изучает теорию эффективных портфелей ценных бумах. Пусть доходности трех ценных бумаг. Утундрий обладает следующей информацией:

Утундрий знает, что если – доли 1-ой, 2-ой и 3-ей ценных бумаг в портфеле соответственно, то

· Доходность портфеля вычисляется по формуле

· Ожидаемая доходность этого портфеля есть

· Риск данного портфеля определяется как

Утундрий составил 2 портфеля A и B. Доля ценных бумаг, с которыми ценные бумаги входят в портфель A задаются вектором а в портфель B - . Помогите Утундрию выполнить следующие задания:

a) Задать в MATLAB вектор ожидаемых доходностей

b) Задать в MATLAB ковариационную матрицу вектора доходностей:

c) Задать в MATLAB вектор весов портфеля A:

d) Задать в MATLAB вектор весов портфеля B:

f) Найдите ожидаемую доходность портфеля A

g) Найдите ожидаемую доходность портфеля B

h) Найдите дисперсию доходности портфеля A

i) Найти риск портфеля A

j) Найдите дисперсию доходности портфеля B

k) Найти риск портфеля B

l) Найдите коэффициент ковариации между доходностями портфелей A и B

m) Найдите коэффициент корреляции между доходностями портфелей A и B

3. Пусть случайный вектор имеет нулевое математическое ожидание

и ковариационную матрицу где некоторое число. Пусть заданы матрица-константа и вектор-константа причем Обозначим и Найдите

Решение:

Домашнее задание:

№1. Пусть , , , , . Найдите

(a) , б) , в) , г) .

№2. Случайный вектор имеет математическое ожидание и ковариационную матрицу . Найдите корреляционную матрицу вектора , а также математическое ожидание и ковариационную матрицу вектора

№3. Случайный вектор нормально распределён с математическим ожиданием и ковариационной матрицей .

Исследователь ищет способ прогнозировать значение Y по значению X. В качестве прогноза он рассматривает случайную величину . Каким должно быть значение b, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки прогноза, т. е. величину ?