Вопросы к экзамену по курсу. «Численные методы и математическое моделирование»

Вопросы к экзамену по курсу

«Численные методы и математическое моделирование»

1. Введение в численные методы и математическое моделирование. Понятие алгебраического и трансцендентного уравнений. Общие принципы численного решения нелинейных уравнений. Метод дихотомии (половинного деления). Метод секущих, правило выбора неподвижной точки и условия сходимости. Метод Ньютона (касательных), правило выбора начального приближения и условия сходимости. Метод простой итерации, условие сходимости.

2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации. Понятие нормы матрицы. Понятие собственных значений и собственных векторов матрицы. Условия сходимости метода простой итерации (теоремы сходимости). Выбор начального приближения. Условия окончания итерационного процесса. Невязка решения. Метод Зейделя. Условия сходимости метода Зейделя. Метод исключений Гаусса.

3. Численное решение систем нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Условия сходимости метода простой итерации. Метод Ньютона. Условия сходимости метода Ньютона.

4. Задача интерполяции функций. Основные понятия и определения. Линейная интерполяция. Квадратичная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционный многочлен Ньютона.

5. Численное интегрирование функций одной переменной. Формула прямоугольников. Получение оценки погрешности формулы средних прямоугольников. Формула трапеций. Получение оценки погрешности формулы трапеций. Формула Симпсона. Оценка погрешности формулы Симпсона.

6. Численные методы решения задачи на собственные значения и собственные векторы матрицы. Основные определения и спектральные свойства матриц. Полная проблема собственных значений и собственных векторов, случай симметричных матриц. Метод вращений Якоби. Частичная проблема собственных значений и собственных векторов. Степенной метод. Полная проблема собственных значений и собственных векторов, случай произвольных матриц. QR-факторизация. Матрица Хаусхольдера. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц с помощью QR-алгоритма. Случай комплексных собственных значений.

7. Поиск минимума функций. Минимум функции одного переменного. Метод золотого сечения. Метод парабол. Минимум функций нескольких переменных. Рельеф функций. Спуск по координатам.

8. Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Явные и неявные вычислительные схемы для метода Эйлера. Многошаговые методы. Метод Адамса. Явные и неявные вычислительные схемы для метода Адамса. Проекционные методы. Метод коллокаций.

9. Метод конечных разностей. Понятие о сеточных методах. Аппроксимация производных конечными разностями.