Вопросы к экзамену по дисциплине «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1. Понятие мощности множества.

2. Счётные множества. Критерий счётности множества.

3. Мощность подмножества счётного множества. Теорема о счётном подмножестве бесконечного множества.

4. Мощность объединения конечного или счётного семейства счётных множеств.

5. Мощность объединения бесконечного множества с конечным или счётным.

6. Мощность множества рациональных чисел. Мощность множества алгебраических чисел.

7. Мощность декартова произведения конечного числа счётных множеств.

8. Несчётные множества. Теорема о конечном или счётном подмножестве несчётного множества.

9. Несчётность отрезка [0; 1]. Множества мощности континуума.

10. Мощность множества всех последовательностей из 0 и 1.

11. Мощность декартова произведения счётного семейства счётных множеств.

12. Сравнение мощностей. Теорема Кантора – Бернштейна.

13. Существование сколь угодно высоких мощностей. Мощность множества всех подмножеств непустого множества.

14. Определение и примеры метрических пространств. Геометрия метрического пространства.

15. Предельные точки множества. Внутренние, внешние и граничные точки.

16. Открытые и замкнутые множества.

17. Строение открытых и замкнутых множеств на прямой.

18. Канторово множество. Свойства Канторова множества.

19. Сходящиеся последовательности. Сходимость в .

20. Отображения метрических пространств. Предел, непрерывность, равномерная непрерывность.

21. Полные метрические пространства.

22. Теорема Банаха о сжимающем отображении.

23. Нормированные пространства.

24. Линейные пространства со скалярным произведением. Гильбертово пространство.