|
|||
Неопределенности. Примеры.. Монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности.. Теорема о монотонно возрастающей ограниченной последовательности.. Предел функции (по Коши).. Предел функции (по Гейне).10. Неопределенности. Примеры. 1) Пример: 2) Пример: 3) Пример: 4) Пример: 5) Пример:
11. Монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности. Последовательность называется: 1) Неубывающей 2) Невозрастающей 3) Возрастающей 4) Убывающей
12. Теорема о монотонно возрастающей ограниченной последовательности. Определение:
13. Число e. Замечание:
14. Предел функции (по Коши). Число А называется пределом функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и т.ч. 15. Предел функции (по Гейне). Число А называется пределом функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и , соответствующая последовательность
16. Доказать, что не существует.
17. Односторонние пределы. 1) Число А называется пределом слева в точке , если такое, что . 2) Число А называется пределом справа в точке , если такое, что .
18. Свойства предела функции. а) Если , то он единственный. б) Если , , то
Если в окрестности , а , то в) Если ограниченна в , а – бесконечно малая функция, то г) Первый замечательный предел Доказательство: Рассмотрим площади трех фигур: д) Пусть
тогда е) Второй замечательный предел ж) Если Если
19. Доказать, что .
20. Вывести формулу для суммы геометрической прогрессии.
21. Критерий Коши для числовых последовательностей. Пример. Теорема: Предел числовой последовательности Доказательство: Необходимость ( ) Пусть . Надо доказать, что Пусть
22. Критерий Коши для функций. Предел функции при
23. Определение бесконечно малой величины и понятие о – символики. Примеры. Функция
1) Если . 2) Если 3) Если Пусть
24. Теорема об эквивалентности бесконечно малых величин. Определение: Бесконечно малые величины называются эквивалентными при является бесконечно малой высшего порядка относительно Теорема: Пусть . Пусть . Доказательство: Необходимость : Пусть , т.е. по определению: бесконечно малая высшего порядка, чем . Тогда , т.к. Достаточность : Пусть ,
25. Определение непрерывной функции в точке и в области. Примеры.
1) Функция непрерывна в . 2) Функция
|
|||
|