Операции над векторами в пространстве.

Операции над векторами в пространстве.

План

1. Векторы в пространстве

2. Сложение и вычитание векторов: правило треугольника, правило параллелепипеда

3. Умножение вектора на число

Вопрос 1.Векторы в пространстве

Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс , единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат . Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.

Возьмем вектор , поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях - векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов , и . Получаем: . Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . , а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:

Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.

Вопрос 2.Сложение и вычитание векторов: правило треугольника, правило параллелепипеда

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

;

1) Сложение:

2) Вычитание:

3) Умножение на число: ,

Правило треугольника. Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.

Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.

Правило многоугольника применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.От произвольной точки О отложен вектор затем от точки А отложен вектор и, наконец, от точки В отложен вектор В результате получается вектор

Правило параллелепипеда. Сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенному на этих векторах.

Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором.

Вектор - радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам , , . В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.

Возьмем точку A(x₁;y₁;z₁) и точку B(x₂;y₂;z₂).

Представим вектор как разность векторов и по свойству векторов. Причем, и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора как разность соответствующих координат векторов и : . Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы , , . Необходимо найти вектор . В данном случае найти это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:

У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

Ответ:

Вопрос 3.Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, , длина которого равна, , причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при k < 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. .