Интегрирование методом замены переменной

Интегрирование методом замены переменной

Пусть требуется найти интеграл , причём непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

где - непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда и имеет место равенство:

. (7)

Формула (7) называется формулой замены переменной под знаком неопределённого интеграла.

Пример:

Делаем замену , тогда , .

Замечание. При интегрировании иногда целесообразно подбирать замену переменной в виде не , а . Пусть, например, требуется вычислить интеграл . В результате подстановки , получаем:

Пример:

Замена: , .