Задачи с практическим содержанием

Задачи с практическим содержанием

Решение многих практических задач часто сводится к определению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Ведь и возникновение математического анализа явилось следствием из необходимости решать практические задачи на нахождение оптимальных значений величин, например:

- увеличение урожайности с гектара пашни;

- получение балки с наибольшим прямоугольным сечением из круглого бревна;

- ограждение земельного участка наибольшей площади изгородью заданной длины и т. д.

Поэтому целью нашего урока является систематизация навыков и умений учащихся по применению знаний, полученных в ходе изучения темы «Производная и ее применение» к решению задач этого типа, а так же для решения различных физических задач.

ЗАДАЧА 1: Заготовлена изгородь длиной 480м. Этой изгородью надо огородить с трех сторон, примыкающий к реке, участок. Какова должна быть ширина и длина участка, чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгороди?

РЕШЕНИЕ:

S=AB·BC

Пусть АВ=х, тогда ВС= 480-2х

S(х) = х · (480 - 2х) = 480х - 2х²

D(х) = (0;240), т. к. S(х) > 0

480х – 2х² > 0

2х · (240 – х) > 0

х₁ = 0, х₂= 240

0 < х < 240

S¢ (x) = 480 - 4x

S ¢(x) = 0, 480 - 4x =0

x = 120

Т. о. Smax = S (120) = 28800м² при АВ = 120м и ВС = 240м

Ответ: при ширине 120м и длине 240м площадь участка будет наибольшей.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ :

- определить исследуемую функцию;

- ввести переменную;

- установить область определения функции;

- вычислить max/min функции на заданном интервале.

ЗАДАЧА 2: Дан прямоугольный лист жести (АВ = 80см, ВС = 50см). Надо вырезать около всех углов одинаковые квадраты так, чтобы после загибания оставшихся кромок получилась открытая сверху коробка максимальной вместимости.

РЕШЕНИЕ:

V(x) = ( 80-2x)( 50-2x)x = 4x3 – 260x2 – 4000x

D(V) = (0;25), т. к. V(x) > 0

( 80-2x)( 50-2x)x > 0

x₁ = 40, x₂ = 25, x₃ = 0

0 < x < 25

V′ (x) = 12x² – 520x + 4000

V′ (x) = 0, 12x² – 520x + 4000 = 0

3x² – 130x + 1000 = 0
D = 4900

x₁ = 10, x₂ =

x₁ Є (0;25)

Vmax (x) = V(10) = 1800см³

Ответ: Объем коробки будет максимальным, если сторона вырезаемого квадрата равна 10см.