Задача 5.. Указание. Решение. Задача 6.. Указание. Решение

Задача 5.

Найти сумму ряда

на интервале (0;1).

1)!

Указание

Покажите, что ряд равномерно сходится на заданном интервале, затем найдите сумму ряда, составленного из производных членов данного ряда, и проинтегрируйте ее.

Решение

Поскольку при х = 1 числовой ряд абсолютно сходится, по признаку Вейерштрасса данный степенной ряд равномерно сходится на интервале (0;1). Найдем сумму ряда, составленного из производных членов данного ряда:

Следовательно, сумму данного ряда можно найти как интеграл от полученной функции в пределах от 0 до х, где 0 < x < 1:

Ответ:

Задача 6.

Вычислить значение с точностью до 0,001.

1) 0,312 2) 0,347 3)! 0,368 4) 0,371 5) 0,379

Указание

Используйте разложение функции е^х в ряд Маклорена и то, что п-ый остаток знакочередующегося ряда не больше, чем а_п.

Решение

следовательно,

Видим, что 8-й член ряда меньше 0,001, следовательно, остаток ряда начиная с 8-го члена меньше 0,001. Поэтому для достижения заданной точности достаточно найти сумму первых семи членов ряда:

Ответ: 0,368.

⇐ Предыдущая 12