Пример 1. Пример 2. Пример 3. Пример 4. Пример 5. Упражнения

Пример 1

Пусть G - множество всех пар действительных чисел (х, у), удовлетворяющих соотношению

(х-3)²+ (у - 2)² £ 1. Графически такое соответствие G представляет собой круг радиуса 1 с центром в точке (3, 2). Таким образом, круг G задает соответствие между R и R (осью абсцисс и осью ординат, рис.2).

Определите, чему равны:

а) образы и прообразы чисел 2, 3, 4;

б) образы и прообразы отрезков [2,3], [2,4].

Каковы свойства соответствия G?

а) Образом числа 2 Î пр₁G (на оси абсцисс) при соответствии G (см. рис.2) является единственное число 2 Î пр₂G (на оси ординат).

Образ числа 3 при соответствии G есть множество всех действительных чисел отрезка [1, 3], а образ числа 4-число 3.

Рис.2

Прообразом числа 2 Î пр₂ G (на оси ординат) при соответствии G будет множество всех действительных чисел отрезка [2, 4] Î пр₁ G (на оси абсцисс), прообразом числа 3 при соответствии G — число 3, а прообраза числа 4 при соответствии G не существует.

б) Образом множества чисел отрезка [2,3] Î пр₁ G является объединение образов всех чисел отрезка, т.е. отрезок [1, 3] Í пр₂G. Аналогично образом отрезка [2,4] будет отрезок [1,3] при соответствии G.

Прообраз отрезка [2,3] при соответствии G-это отрезок [2,4], а прообраз отрезка [2,4] - также [2,4].

Если допустить, что соответствие G установлено на множестве действительных чисел, т.е. G Í R ´ R, то оно является:

• частично определенным, так как пр₁ G ¹ R (пр₁ G Ì R);

• не сюръективным, поскольку пр₁ G ¹ R (пр₂ G Ì R);

• не функциональным, ибо для любого числа отрезка [2,4] = пр₁ G (кроме чисел 2, 4) отсутствует единственность образа;

• не взаимно однозначным, так как отсутствуют необходимые условия: G не является всюду определенным на R, не сюръективно, не функционально, а также для любого числа отрезка [1,3] = пр₂ G (кроме чисел 1, 3) отсутствует единственность прообраза.

Если определить соответствие G Í [2, 4] ´ [1, 3], то, очевидно, оно будет всюду определенным и сюръективным, однако останется не функциональным и не взаимно однозначным.

Пример 2

Пусть G - множество точек прямой линии, удовлетворяющей соотношению х - 2 = у при х, у ³0 (рис.3). Каковы свойства соответствия G?

1. Если соответствие G задано на множестве действительных чисел, т.е. G Í R ´ R, то G:

• частично определено, так как пр₁ G = [2, ¥) Ì R;

• не сюръективно, поскольку пр₂ G = R₊ Ì R, где R₊ = [0, ¥] - множество всех положительных действительных чисел с нулем;

Рис.3

• функционально, ибо любому х из области определения соответствует единственный у из области значений, т.е. для соответствия G имеет место единственность образа для любого х Î пр₁ G;

• не взаимно однозначно, так как не выполняются условия - всюду определенности и сюръективности.

2. В случае, если соответствие G задано на множестве R₊с нулем, т.е. G Í R₊ ´ R₊, тогда соответствие G:

• частично определено, так как пр₁ G = [2, ¥) и пр₁ G Í R₊;

• сюръективно, поскольку пр₂ G = R₊;

• функционально;

• не взаимно однозначно, так как не выполняется условие - всюду определенности.

3. При G Í [2, ¥) ´ R₊ соответствие G:

• всюду определено;

• сюръективно;

• функционально;

• взаимно однозначно, так как наряду с выполнением перечисленных выше условий имеет место также единственность прообраза для любого у Î пр₂ G.

Пример 3

Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами английских и русских слов. Каковы свойства этого соответствия?

Данное соответствие не является:

• всюду определенным (всегда можно найти английское слово, не содержащееся в словаре);

• сюръективным (по отношению русских слов, имеющихся в словаре);

• функциональным (одному английскому слову ставится в соответствие, как правило, несколько русских);

• взаимно однозначным (в силу предыдущего).

Пример 4

Пусть множества b(U), где U= {а, b, с}, и B₃определены следующим образом:

b(U) - множество всех подмножеств (булеан) множества U= {а, b, с};

В₃ - множество всех двоичных векторов длины 3, т.е. В₃=А´А´А, где A = {0, 1}.

Показать, что между множествами b(U) и В₃где U= {a, b, с}, имеет место взаимно однозначное соответствие.

b(U) = {Æ, {а}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}};

| b(U) | = 8.

В₃= {(000), (001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)};

| В₃ | = 8

(для упрощения обозначений запятые между компонентами векторов опущены).

Установим следующее соответствие G между множествами из b(U)и векторами из B₃:

• если в множестве из b(U) присутствует элемент а, то в соответствующем ему векторе из B₃ первая компонента равна 1, а если отсутствует - то 0;

• если в множестве из b(U) присутствует элемент b, то в соответствующем ему векторе из B₃ вторая компонента равна 1, а если отсутствует - то 0;

• аналогичное соответствие установим между элементом с в множестве из b(U) и значением третьей компоненты вектора из В₃.

Например, множеству {b} из b(U) соответствует вектор (010) из В₃множеству {а, с} - вектор (101) и т.д.:

G :Æ ® (000), {а} ® (100), {b} ® (010), {с} ® (001), {а, b} ®(110), {а,с} ®(101), {a, с} ® (011), {а, b, с} ®(111).

Установленное, таким образом соответствие G является взаимно однозначным, так как выполняются все условия для взаимно однозначного соответствия.

Пример 5

Используя определение равномощности множеств, покажите, что множество М₂n натуральных чисел, являющихся степенями двойки, счётно.

Для доказательства следует установить взаимно однозначное соответствие между множествами М₂n и N. Если каждому натуральному п Î N поставить в соответствие число 2ⁿ^-1 Î М₂n , то установленное таким образом соответствие G Î N ´ M₂n, очевидно, является взаимно однозначным (удовлетворяет всем требованиям для взаимно однозначного соответствия) и представляет множество всех векторов G = {(п, 2ⁿ^-1): п Î N}. А так как мощность множества N cчетна, то из установленной взаимной однозначности между множествами N и М₂n согласно определению равномощности бесконечных множеств, следует, что множество М₂n также счетно.

Упражнения

1. Соответствия G₁,- G₄ определены графически:

а) б)

в) г)

Рис. 3.4

Найдите образы и прообразы: чисел 1, 2, 3, 4; отрезков [2, 3], [1, 2], [2, 4], [3, 4], [3, 5].

⇐ Предыдущая 12