Понятие множества, его виды, операции над множествами. Основные понятия комбинаторики.

Понятие множества, его виды, операции над множествами. Основные понятия комбинаторики.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множества строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записываютx∈Х (∈ -принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ -содержится).

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

Операции над множествами

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой)множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то А\В = {1,2}

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов) множества.Говоря простым языком, комбинаторика изучает задачи, основным вопросом которых является «Сколькими способами/вариантами/…» Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Вся комбинаторика базируется на нескольких правилах. Правило суммы. Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n + m способами. Правило умножения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить 1n способами, второе действие 2 n способами, третье - 3 n способами и так до k-го действия, которое можно выполнить k n способами, то все k действий вместе могут быть выполнены N = 1 n · 2 n · 3 n · … · k n способами. Эти правила дают удобный универсальный метод решения многих задач. Задача 1. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать? Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, то есть существует 30 способов выбора старосты. После того, как староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Согласно правилу умножения, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30 · 29 = 870. Задача 2.В магазине «Все для чая» продаются 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?  Тут есть три различных случая – купить пару «чашка-блюдце», «чашка-ложка» и «блюдце-ложка». Их можно выбрать 15, 20 и 12 способами соответственно. Но эти три числа перемножать нельзя, так как эти случаи несовместны и друг от друга никак не зависят (то есть будет три несвязанных «дерева» по аналогии с первой задачей), поэтому их надо сложить: 15+20+12=47 способов. Если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,… , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п. Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Предварительно познакомимся с понятием факториала. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут

1. Перестановки.Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.Перестановки обозначаются символом Р_n, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).Число перестановок можно вычислить по формуле

т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению nпоследовательных целых чисел, из которых большее есть m.Запишем эту формулу в факториальной форме:

3. Сочетания.

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Сочетания отличаются от размещений тем, что в задачах на сочетания не важно, в каком порядке выбираются объекты.

Задание: Составьте конспект урока, ответив на вопросы: 1) Что такое множество? Какие операции можно выполнять над множествами.

2) Какой раздел математики называется комбинаторикой? Какой основной вопрос в комбинаторных задачах?

3) Сформулируйте правила по которым решаются комбинаторные задачи. Приведите примеры задач.

4) Что такое n-факториал?Чему равен 5!?

5)Что такое перестановки? Пример задачи.

6)Что такое размещения из m элементов по n элементам? Пример задачи.

7)Что такое сочетаниеmэлементов по n элементам? Пример задачи.

8) Чем отличается сочетания от размещений?

Выполните задание и отправьте фотоочет на адрес: popova_marine63@mail.ru