Пояснительная записка. Тема — Некоторые сведения из теории множеств

Пояснительная записка

Тема — Некоторые сведения из теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Георг Кантор

(1845—1918)

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Например:

	Множество учеников класса
	Множество деревянных предметов
	Множество чисел
	Множество фруктов

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

	A
	B
	C
	D

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:


A={Маша, Ваня, Петя….}	B={Банан, яблоко, виноград….}

C={миска, подставка под карандаши, разделочная доска….}	D={1,2,3,4,5….}

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Епринято называть подмножеством D:

D={1,2,3,4,5,6,7,8…}

E={2,4,6,8…}

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Например:

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

A={1,3,6,9,12,15} B={2,4,6,8,10,12} A⋂B={2,6,12}

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

С⋂D=ø

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

A={1,3,6,9}

B={2,4,6,8}

A⋃B={1,2,3,4,6,8,9}

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

A={1,3,6,9}

B={2,4,6,8}

A\B={1,3,9}

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

A={2,4,6}

B={1,2,3,4,5,6}

Мощностью множества называется число его элементов:A={1,2,3,4,5,6}

|A|=5

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

A={1,3,5,7}

B={2,4,6,8}

|A⋃B|=8

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

|A⋃B|= |A|+|B|–|A⋂B|

A={1,2,3,4,5,6}

B={2,4,6,8}

|A⋃B|=6+4–3=7

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|-|B⋂C|+|A⋂B⋂C|

Задание №1.

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

Дано:

|A|=17, |B|=8, |C|=13

|A⋂B|=3, |A⋂C|=10, |B⋂C|=2

|A⋂B⋂C|=1

по формуле включения:

|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|–|B⋂C|+|A⋂B⋂C|=17+8+13–3–10–2+1=24

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

Задание №2.

1. Множество общих элементов двух множеств

2. Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое

3. Число элементов множества

4. Множество элементов, не входящих в подмножество

5. Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов

Задание №3

Закрасьте область цветом:

1. Зеленым — R\(P\Q)

2. Красным — (P⋂R)\Q

3. Желтым — (P∪Q)\R