|
|||
Пример 1. Пример 5. Пример 6. Пример 8. Пример 9. Пример 10.Стр 1 из 4Следующая ⇒
В заключение для Н.И. хотелось бы отметить. Ранее мы ввели понятие элементарной функции и установили, что производная -й элементарной функции представляет так же элементарную функцию. Установили, что операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. Отметим, что с операции интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными. Примерами таких интегралов могут служить следующие: 1. - интеграл Пуассона 2. -интегралы Френеля 4. -интегральный логарифм 5. 6. -интегральный синус . 7. и многие другие .
Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию не являющуюся элементарной. Эти функции реально -ют и играют важную роль в различных вопросах физики. 1-я называется интегралом Пуассона или интегралом ошибок. Используют в статической физике, в теории теплопроводности иди диффузии. 2^3.-интегралы Френеля- используются в оптике. Не вычисляются в элементарных функциях Пример 1 Решение: Дифференцируем обе части равенства и получаем: Приравниваем коэффициенты при одинаковых слагаемых, получаем систему уравнений
Тогда- Проверка: Полагаем Дифференцируя получим:
Тогда- Проверка: Пример 3 Дифференцируя получим:
Тогда- Проверка: Пример 4 Решение:
Пример 5 (1) ( - Правильные дроби, степени числителей меньше на 1 знаменателя.)
( (1) дифференцируем и получим в равносильной форме ). Т.е. Приводим к общему знаменателю дроби и приравниваем числители.
Тогда Пример 6 Этот интеграл можно вычислить двумя способами. А) А далее известно, можно получить шесть уравнений с шестью неизвестными A,B,C,D,E,F. В) Найдем этот интеграл методом Остроградского.
Рациональную дробь удобно представить в виде суммы элементарных дробей. Дифференцируем обе части этого равенства, получаем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы x, получаем систему Решая эту систему находим Итак Описанные выше методы интегрирования рациональных функций хотя и обладают общностью, так как в отдельных случаях рассматриваемые интеграл от рассматриваемой функции может быть значительно проще вычислен с помощью метода замены переменных или непосредственно с помощью тех или иных искусственных приемов.
Заметим, что Пример 8 Пример 9 Как видно, вычисления были не сложными, разложение подынтегральной дроби на элементарные было бы здесь весьма громоздким и привело бы непосредственно к усложнению формы ответа. Обратимся к интегралу вида В) В) Если число такое, что для всех х выполняется равенство , то интеграл в) можно представить в виде линейной комбинации интегралов
и Интеграл I1 – сводится к табличному, а для I2 применяем подстановку Абеля. которая сведет его к интегралу от многочлена. Если , то используется подстановка Где подбираются такими, чтобы коэффициенты при t в квадратных трехчленах подынтегральной функции обратились в нуль. При этом интегралы принимают вид: , гдеP(t) – огочлен степени 2k-1,
Если b=ap, но (случай b=ap и c=aq – рассмотрен выше) То вместо подстановки (*) можно применить подстановку .
Чтобы вычислить интеграл разложим правильную рациональную дробь на простые дроби и представим в виде линейной комбинации интегралов вида вычисляется с помощью подстановки , а - с помощью подстановки Абеля Обратились в нуль. При этом интеграл в) принимает вид - многочлен степени «2k-1», .
Пример 10. Т.к. в числителе находится степень cosx, то удобной подстановкой является
|
|||
|