Примеры оформления решения заданий письменного экзамена по математике (профильный уровень)

Примеры оформления решения заданий письменного экзамена по математике (профильный уровень)

Задание №1

Вариант 81

№1

Решение.

На всей области определения убывает функция .

Ответ: в.

Вариант 87

№1

Решение.

Из перечисленных функций степенной является функция .

Ответ: в.

Вариант 95

№1

Решение.

Уравнения, не имеющие корней: .

Ответ: в, г.

Вариант 103

№1

Решение.

Ответ: г.

Вариант 109

№1

Решение.

Графической иллюстрацией системы уравнений является рисунок в.

Ответ: в.

Задание №2

Вариант 84

№2

Решение.

При вращении прямоугольника около одной из сторон получается цилиндр.

Ответ: а.

Вариант 90

№2

Решение.

Из перечисленных утверждений верным является утверждение: треугольник DA₁C – прямоугольный с гипотенузой СA₁.

Ответ: г.

Вариант 100

№2

Решение.

Площадь боковой поверхности конуса равна площади сектора.

(см²).

Ответ: г.

Вариант 104

№2

Решение.

Так как диаметр шара равен 18 см, то радиус шара равен 9 см. Если плоскость удалена от центра шара на расстояние, равное 8 см, то верно утверждение: плоскость пересекает шар.

Ответ: в.

Вариант 110

№2

Решение.

Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующим, а основание – диаметру конуса.

По неравенству треугольника получаем, что стороны равны 14,14 и 7 см.

Тогда радиус основания конуса равен 3,5 см.

Ответ: в.

Задание №3

Вариант 76

№3

Решение.

;

Так как , то функция возрастает и неравенство равносильно системе неравенств

: .

Вариант 87

№3

Решение.

; .

Так как , то функция возрастает и неравенство равносильно неравенству ; .

: .

Вариант 101

№3

Решение.

Ответ: 9.

Вариант 107

№3

Решение.

и ;

; .

Так как , то и .

: .

Вариант 122

№3

Решение.

;

Ответ: .

Вариант 94

№3

Решение.

;

Найдем .

Найдем . .

Ответ: .

Задание №4

Вариант 81

№4

Решение.

Ответ: -0,5.

Вариант 95

№4

Решение.

;

Так как , то . Тогда ; ; .

Наибольшее целое решение неравенства – число 1.

Ответ: 1.

Вариант 97

№4

Решение.

;

Так как степени с одинаковым основанием равны, то равны и их показатели, т.е. ; ; ; или .

Ответ: -1 ; 1.

Вариант 119

№4

Решение.

Так как , то и .

Значит, .

Ответ: .

Вариант 127

№4

Решение.

Функция возрастает на множестве R. Значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним значения выражений и .

; .

Так как , то .

Из определения возрастающей функции следует, что .

Ответ: .

Задание №5

Вариант 118

№5

Решение.

, .

Найдем абсциссу точки касания, составим и решим уравнение.

;

; ;

Уравнение касательной имеет вид .

Ответ: .

Вариант 122

№5

Решение.

, ,

; .

Получаем ; .

Тогда .

Ответ: .

Вариант 130

№5

Решение.

Неравенство равносильно системе неравенств

Ответ: .

Вариант 132

№5

Решение.

;

Пусть , тогда уравнение принимает вид ;

; ; .

или

; нет корней, так как ;

Ответ: .

Вариант 138

№5

Решение.

Для нахождения области определения функции составим и решим систему неравенств

; значит, .

Ответ: .

Задание №6

Вариант 76

№6

Решение.

1) Треугольники АВС и ВDС равнобедренные с общим основанием ВС, а так как и , то угол АНD является линейным углом двугранного угла DВСА, который равен углу между плоскостями АВС и ВDС. Значит, ∠ .

2) Рассмотрим треугольник .

По теореме косинусов ,

тогда

;

Так как , то .

Значит, угол между плоскостями АВС и ВDС равен .

Ответ: .

Вариант 88

№6

Решение.

1) Пусть SО – высота пирамиды SABCD. Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то основание высоты пирамиды точка О – центр окружности, вписанной в основание пирамиды. ABCD – ромб, О – точка пересечения диагоналей ромба.

2) Проведем ОН , соединим точки S и Н.

SО – перпендикуляр к плоскости АВС, SН – наклонная на плоскость АВС, ОН- проекция наклонной SН на плоскость АВС, ВС – прямая в плоскости АВС. Так как

ОН (по построению), то SН по теореме о трех перпендикулярах. Тогда

– линейный угол двугранного угла SВСО, т.е. .

3) Пусть сторона ромба равна см, а высота ромба - см.

Тогда или .

; . По свойству ромба (см), тогда

(см).

4) Рассмотрим треугольник : ∠ , , тогда и

(см).

Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, высоты боковых граней, проведенные к сторонам основания равны. SН – высота боковой грани пирамиды. Тогда площадь боковой поверхности можно найти по формуле .

(см²).

Ответ: см².

Вариант 92

№6

Решение.

1) В результате вращения равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг гипотенузы АВ получим тело вращения, состоящее из двух равных конусов с общим основанием, радиус которых равен высоте треугольника, проведенной к гипотенузе АВ, а высота конусов равна половине гипотенузы.

2) Пусть – высота, – радиус каждого конуса, = , .

(см);

Рассмотрим треугольник ВОС, ∠ , , тогда значит, треугольник ВОС прямоугольный и равнобедренный, .

Тогда см.

3) Найдем объем полученного тела вращения.

(см²).

Ответ: см².

Вариант 102

№6

Решение.

1) Так как градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, то . Рассмотрим треугольник : (как радиусы основания цилиндра), значит, он прямоугольный и равнобедренный. По теореме Пифагора ; ;

см.

2) Сечение цилиндра, параллельное оси – прямоугольник ABCD, AB – образующая цилиндра, AB= . Рассмотрим треугольник ABD : , BD= см (по условию), см. По теореме Пифагора , откуда ; см.

3) , см, тогда

(см²).

Ответ: см².

Вариант 104

№6

Решение.

1) Так как параллелепипед прямой, то его боковые грани прямоугольники. Тогда АВ и А и ∠ является линейным углом двугранного угла при ребре , ∠

2) Найдем площадь основания параллелепипеда. ABCD – ромб,

(см²).

3) В ромбе ABCD ∠ тогда ∠ , следовательно, BD АС. BD и АС ортогональные проекции диагоналей и на плоскость основания параллелепипеда. По свойству наклонных и проекций , значит, – большая диагональ параллелепипеда. По теореме косинусов из треугольника АВС найдем длину диагонали АС.

;

; см.

Рассмотрим треугольник (∠ ). По условию ∠ , тогда

∠ треугольник является равнобедренным с основанием . Значит, см.

4) ; так как в прямом параллелепипеде высота равна боковому ребру, то см; (см²).

Ответ: 324 см².

Вариант 138

№6

Решение.

1) Соединим точку К с вершинами треугольники АВС, проведем перпендикуляр на плоскость АВС из точки К. Рассмотрим треугольники АКО, СКО и ВКО. Так как , а отрезки АО, ВО и СО лежат в плоскости, то треугольники прямоугольные. КА=КС=КВ (по условию), КО – общая сторона. Следовательно треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что АО=ВО=СО, т.е. о – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Так как треугольник АВС прямоугольный, то О – середина гипотенузы.

АО=ВО=СО= =5(см).

2) КС - наклонная на плоскость АВС, КО – перпендикуляр к плоскости АВС, СО – проекция наклонной КС на плоскость АВС. По определению угла между прямой и плоскостью ∠ .

3) Рассмотрим треугольник КСО ( ). СО=5 см, КС=20 см.

Тогда и .

Значит, угол между прямой КС и плоскостью АВС равен .

Ответ: .

Задание №7

Вариант 72

№7

Решение.

Найдем производную функции :

Согласно геометрическому смыслу производной .

Так как касательные параллельны оси Ox, то ;

Значит, ;

;
;
;

Значит, являются абсциссами точек касания.

Уравнение касательной к графику в точке с абсциссой :

1. При имеем

;
.

2. При имеем

;
;
.

Ответ: .

Вариант 83

№7

Решение.

Прямая является касательной к графику функции .

Согласно геометрическому смыслу производной .

Угловой коэффициент касательной ;

найдем производную функции:

Пусть – абсцисса точки касания. Составим и решим уравнение

;

;
;
;

Ответ: .

Вариант 114

№7

Решение.

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию

Область определения функции:

Нули функции:
– нуль функции.

(на рисунке обозначен как log(4, 7))

Ответ:

Вариант 126

№7

Решение.

Вычислим .

;

Уравнение равносильно системе

;
;
;
;

При ; при .

- корень уравнения.

Ответ:

Вариант 134

№7

Решение.

; -?

Рассмотрим функцию и найдем ее область значений.

Это квадратичная функция, ее график парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины:
;

Так как ветви параболы направлены вверх, то

Так как , то показательная функция убывает, значит,
;
;
;

Значит,

Ответ: .

Задание №8

Вариант 78

№8

Решение.

;

Разложим на множители левую часть уравнения:

;
.

Произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой существует, значит:

Ответ: 0; 2.

Вариант 88

№8

Решение.

Естественная область определения уравнения:

Т.к. обе части уравнения положительны, то прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

;
;

;
.

Пусть , тогда уравнение принимает вид .

Тогда

;

Ответ: .

Вариант 96

№8

Решение.

Найдем область определения функции:

Найдем производную функции.

Найдем нули производной:

Функция убывает на промежутках

функция возрастает на промежутках

точка минимума:

точка максимума:

Ответ: функция убывает на промежутках

функция возрастает на промежутках

Вариант 106

№8

Решение.

Рассмотрим уравнение системы:

;
;
.

Подставим выражение вместо в уравнение .

Пусть уравнение принимает вид

; .
;
;
;
тогда .

Ответ: .

Вариант 112

№8

Решение.

;

Пусть – точка пересечения графика функции с осью ординат,

тогда , а

Найдем производную функции и ее значение при .

;

Согласно геометрическому смыслу производной .

Значит, ; .

Ответ: .

Вариант 118

№8

Решение.

;

;
;

Пусть , неравенство принимает вид .

Решим неравенство методом интервалов.
;

;
; , .

значит, .

;

Так как , то показательная функция возрастает,

значит, ;

;

Решим систему неравенств (1):

Решим систему неравенств (2):

Объединив решения систем, получаем решение исходного неравенства .

Ответ: .

Задание №9

Вариант 84

№9

Решение.

Заметим, что в левой части неравенства можно применить формулу перехода к новому основанию логарифма:

Получаем неравенство ;

Рассмотрим два случая:

или

Объединим решения систем неравенств и получим:

Ответ:

Вариант 87

№9

Решение.

Пусть - первый член данной прогрессии,

- знаменатель прогрессии, .

Тогда сумма прогрессии равна

или по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии .

Квадраты членов данной прогрессии образуют новую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен , а знаменатель прогрессии равен . Тогда сумма новой прогрессии .