|
|||
Как найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке?Стр 1 из 2Следующая ⇒ Как найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке?
Сегодня на уроке я расскажу вам об одном популярном приложении дифференциального исчисления функции двух переменных, а именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно. Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой. В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий, которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке . Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку . Определение 2: нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости. Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений. С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали: Пример 1 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Решение:если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле: Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно). При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами: Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке: Аналогично: Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент. Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями: Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению: Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии, – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору : В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет Ответ: Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему. Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»: Пример 2 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . И задание, интересное с технической точки зрения: Пример 3 Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке в точке . Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма. Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока. В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: . Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости. Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:
|
|||
|