а) дифракция на кругом отверстии

Если размер экрана мал то действие 1-ой открытой зоны почти не отличается от действия центральной зоны волнового фронта. Таким образом, освещенность в В будет ≈ такой же как и в отсутствии экрана. Вследствие симметрии относительно АВ светлая точка в В окружена кольцевыми зонами тени и света (вне границ геометрической тени).

     Пусть волна попадает нормально к площади щели. Разобьем площадь щели на ряд узких полосок  равной ширины. Каждая из них может рассматриваться как источник волн, причем фазы всех этих волн одинаковы. Амплитуды также одинаковы. Это упрощает решение задачи.

Графически результат сложения амплитуд для любой точки экрана:

а) . При  элементарные волны не приобретают никакой разности фаз. Результирующая амплитуда

б)  направление φ при котором крайние элементы волнового фронта в пределах щели дают разность фаз =π, т.е разность хода = .т.е .

Так как амплитуда от всей щели =  или по  - к вектору амплитуды, т.е. .

в) если разность хода лучей от краев щели =λ, т.е. соответствует , то S=0. Нетрудно видеть, что S=0 и для разностей хода 2 λ,3 λ,….,т.е.min соответствует направлениям

 разобьем щель  на полоски и изобразим цепочку соответствующих элементарных векторов для определенного угла дифракции φ. Так как  , то разность фаз  .

Последний вектор цепочки относительно 1- ого повернуть на угол  .

длина цепочки = (амплитуда подающего света)

А – результирующий вектор, 2πR- длина всей окружности, - часть окружности изображенной на рисунке. Её длина будет но это = , т.е

Из Δ получим , т.е.   но  ,т.е.  отсюда

 , но

т.е.  или

Для аналитического расчета интенсивности света щелью, напишем выражение для волны, посылаемый каждым элементом волнового фронта и просуммируем действие всех элементов. Амплитуда волны от одного элемента ~ его ширине dx, т.е = cdx. Величину с найдем из условия, что в направлении φ=0 амплитуда воны =  или cb= .т.е. . Таким образом, возмущения в соответствующем участке щели

  Для отыскания действия всей щели в направлении φ надо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие от разных элементов волнового фронта до .

Проведем плоскость FD перпендикулярно к направлению нормалей дифрагировавших волн.

Разность хода от А и от N есть . Тогда световое возмущение в точке Р будет , где  волновое число.

Результирующее возмущение в точке  определиться как сумма этих выражений:

. Таким образом, амплитуда волны в направлении φ     (*)

Так как обычно φ мал, то   т.е вдоль экрана с изменением φ освещенность меняется проходя через min и max.

Из (*) следует, что  для углов φ удовлетворяющему условию ,  или  наибольший max при:  тогда  из (*)

Следующие max , получаем из условия экстремума .

Расчет дает

 Численные значения интенсивностей главного и следующих max относиться как  1:0,045=0,016….

В первом приближении можно считать угловые max более простым  в случае b>>λ решение (Рэлей 1897)и для b~λ Морзе и Рубинштейн (1938).расчеты полученному и потому нет заметных ошибок для дифракционных  решеток.

                   Дифракционная решетка.

     Например, две щели дадут одинаковые, накладывающиеся друг на друга дифракционные картины.

За счет этого max усилится. Однако, картина сложнее, т.е. надо принять во внимание взаимную интерференцию волн идущих от 1-ой и 2-ой щели.

 Очевидно,  min будет на тех же местах, т.е. те направления, по которым ни одна из щелей не посылает света не получит его и при 2-х щелях. Кроме того, возможны направления, в которых колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно уничтожаются , т.е. направления которым соответствует разность хода  для волн идущих от соответственных точек обеих щелей. Например,

 т.е.

Наоборот, в направлениях действие одной щели усиливает действие другой, т.е главный max.

Полная картина:

Прежнее min

Добавочные min

Главный max

т.е. между двумя главными max будет становиться уже, чем от одной щели.

Система параллельных щелей называется дифракционной решеткой. Величина d=a+b называется постоянной решетки  число штрихов на единицу длины (n больше или равен 2000)

С учетом того, что разность фаз между колебаниями от соседних щелей.

. Амплитуды волны вместо (*) будет иметь :   

Таким образом, распределение интенсивности в дифракции картине зависит от 2-х сомножителей. Первый определяет дифракцию на одной щели. А второй – взаимодействие лучей от отдельных щелей.

В отличии от дифракции на одной щели, дифракционная картина на N  щелях характеризуется наличием острых max  которые наблюдаются при условии  (т.е знаменfтиль в формуле для  должен =0) или  добавочные min  будут при условии  или

Общая картина:

Прежнее min

Главные max

Добавочные min  т.е между двумя главными max располагается   добавочных min . Вторичные max  очень слабы <  от главного.

Угловые расстояния между главным max и соседним min определяется требованием. Чтобы разность хода взросла на , т.е.  или  и

При небольших углах дифракции (cosφ≈1)резкость главных максимумов не зависит от порядка спектра и равна, т.е. тем лучше. Чем больше λN . т.е общая ширина решетки.

Разрешающая способность – возможность различить максимумы близких волн  и .

Для главного max

Условия min sin

Если max второй волны виден под углом больше или меньше , то его можно увидеть. так как , то  отсюда - разрешающая способность, определяется порядком (m) и числом штрихов  (N).

У лучших решеток ~  и возможно разделить две волны, длины волн которых отличаются на  м.

Существуют также фазовые решетки, позволяющие концентрировать до  энергии в какой-либо ненулевой  главной max (например, отражающие).

           Дифракция рентгеновских лучей.